kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第309题
📝 题目
### 第309题
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X \sim P(\lambda)$ 的简单随机样本，则可以构造参数 $\lambda^{2}$ 的无偏估计量为 （A）$\displaystyle T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(X_{i}-1\right)$ ． （B）$\displaystyle T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ． （C）$\displaystyle T=\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{2}$ ． （D）$\displaystyle T=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_{j}\right)^{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$X \sim P(\lambda)$，$E(X)= \lambda$，$E(X^2)= \lambda + \lambda^2$。 步骤2：$E[X(X-1)] = E(X^2) - E(X) = \lambda^2$，故$\displaystyle T=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i(X_i-1)$是$\lambda^2$的无偏估计。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：确定泊松分布的期望和二阶矩
由于 $X \sim P(\lambda)$，则 $E(X) = \lambda$，$E(X^2) = \lambda + \lambda^2$。
公式：$$E(X) = \lambda, \quad E(X^2) = \lambda + \lambda^2$$
提示：注意泊松分布的二阶矩公式
步骤 2/5
目标：步骤2：计算 $X(X-1)$ 的期望
计算 $E[X(X-1)] = E(X^2 - X) = E(X^2) - E(X) = (\lambda + \lambda^2) - \lambda = \lambda^2$。
公式：$$E[X(X-1)] = E(X^2) - E(X) = (\lambda + \lambda^2) - \lambda = \lambda^2$$
提示：注意泊松分布的二阶矩公式
步骤 3/5
目标：步骤3：构造样本均值的无偏估计量
由 $E[X_i(X_i-1)] = \lambda^2$ 对每个 $i$ 成立，考虑统计量 $T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i(X_i-1)$，则 $E(T) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[X_i(X_i-1)] = \frac{1}{n} \cdot n \lambda^2 = \lambda^2$。因此 $T$ 是 $\lambda^2$ 的无偏估计量。
公式：$$E[X_i(X_i-1)] = \lambda^2$$
提示：注意无偏性要求期望等于参数
步骤 4/5
目标：步骤4：验证其他选项是否为无偏估计
对于选项 (B)：$E\left(\frac{1}{n} \sum X_i^2\right) = \lambda + \lambda^2 \neq \lambda^2$，故有偏。
对于选项 (C)：$E\left[\left(\bar{X}\right)^2\right] = \frac{\lambda}{n} + \lambda^2 \neq \lambda^2$，故有偏。
对于选项 (D)：样本方差 $S^2$ 的期望为 $\lambda$，即 $E\left[\frac{1}{n-1} \sum (X_i - \bar{X})^2\right] = \lambda \neq \lambda^2$，故有偏。
公式：$$E(X_i^2)=\lambda+\lambda^2, \quad E(\bar{X}^2)=\frac{\lambda}{n}+\lambda^2, \quad E(S^2)=\lambda$$
提示：注意区分总体方差与样本方差期望
步骤 5/5
目标：步骤5：得出最终答案
只有选项 (A) 满足无偏性，因此正确答案为 (A)。
提示：无偏性要求期望等于参数值
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