kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第310题
📝 题目
### 第310题
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的样本，其中 $\mu$ 和 $\sigma^{2}$ 均未知，记 $\bar{X}$ 和 $S^{2}$分别为样本均值和方差，当 $H_{0}: \mu=\mu_{0}$ 成立时，有 （A）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma} \sqrt{n} \sim N(0,1)$. （B）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S} \sqrt{n} \sim t(n-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S} \sqrt{n} \sim t(n)$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{0}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$ ．
## 解答题
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：当$H_0:\mu=\mu_0$成立时，$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$。 步骤2：$\sigma$未知，用$S$代替，得$\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：确定已知条件与假设
已知 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$ 和 $\sigma^2$ 均未知。$\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差。在 $H_0: \mu = \mu_0$ 成立的条件下，分析各选项的分布。
提示：注意μ和σ²均未知时t分布的使用条件
步骤 2/5
目标：步骤2：分析选项A
选项A：$\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma} \sqrt{n} \sim N(0,1)$。由于 $\sigma$ 未知，该统计量无法直接计算，且 $\sigma$ 是未知参数，因此该分布不成立。实际上，当 $\sigma$ 已知时，该统计量服从标准正态分布，但这里 $\sigma$ 未知，故A错误。
提示：σ未知时不能用z统计量
步骤 3/5
目标：步骤3：分析选项B和C
选项B和C均涉及 $\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu_0}{S} \sqrt{n}$。由抽样分布理论，当 $\sigma$ 未知时，用样本标准差 $S$ 代替 $\sigma$，统计量 $\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，即 $\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu_0}{S} \sqrt{n} \sim t(n-1)$。因此B正确，C错误（自由度应为 $n-1$ 而非 $n$）。
公式：$$\frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$$
提示：注意t分布自由度为n-1
步骤 4/5
目标：步骤4：分析选项D
选项D：$\displaystyle \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2 \sim \chi^2(n-1)$。注意，当 $\mu$ 未知时，$\displaystyle \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$，但这里用 $\mu_0$ 代替了 $\bar{X}$，且 $\mu_0$ 是假设值，因此该统计量服从 $\chi^2(n)$ 分布（因为 $n$ 个独立正态变量的平方和，且均值为 $\mu_0$，自由度为 $n$），而非 $\chi^2(n-1)$，故D错误。
公式：$$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$$
提示：注意均值已知与未知时自由度不同
步骤 5/5
目标：步骤5：得出结论
综合以上分析，只有选项B正确。因此答案为B。
提示：注意区分无偏性与有效性
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