kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第311题
📝 题目
### 第311题
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$X \sim N(0,1), Y \sim U[0,1], Z=X+Y$ ，求 $Z$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$ ．
建议荅题时问 $\leqslant 7 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$f_Z(z) = \begin{cases} 0, & z<0 \\ \Phi(z) - \Phi(z-1), & 0 \le z \le 1 \\ \Phi(z) - \Phi(z-1), & z>1 \end{cases}$，其中$\Phi$为标准正态分布函数。 **解析**：步骤1：$X$与$Y$独立，$Z=X+Y$，由卷积公式$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y)f_Y(y)dy$。 步骤2：$\displaystyle f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$，$f_Y(y)=1,0\le y\le1$，故$\displaystyle f_Z(z)=\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(z-y)^2/2}dy = \Phi(z) - \Phi(z-1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：确定独立随机变量的概率密度函数
由题意，$X \sim N(0,1)$，其概率密度函数为 $f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}, \quad -\infty < x < +\infty$。
$Y \sim U[0,1]$，其概率密度函数为 $f_Y(y) = \begin{cases} 1, & 0 \le y \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。
由于 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$Z = X + Y$ 的概率密度函数可用卷积公式计算。
公式：$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y) f_Y(y) \, dy$$
提示：注意卷积积分限由Y的支撑集确定
步骤 2/6
目标：步骤2：应用卷积公式
卷积公式：$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y) f_Y(y) \, dy$。
代入 $f_X$ 和 $f_Y$，由于 $f_Y(y)$ 仅在 $[0,1]$ 上非零，积分限变为 $0$ 到 $1$：
$f_Z(z) = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(z-y)^2/2} \cdot 1 \, dy = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^1 e^{-(z-y)^2/2} \, dy$。
公式：$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y) f_Y(y) \, dy$$
提示：注意积分限由非零区间确定
步骤 3/6
目标：步骤3：变量代换化简积分
令 $t = z - y$，则 $y = z - t$，$dy = -dt$。当 $y=0$ 时，$t=z$；当 $y=1$ 时，$t=z-1$。积分变为：
$f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{z}^{z-1} e^{-t^2/2} (-dt) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{z-1}^{z} e^{-t^2/2} \, dt$。
公式：$$f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{z-1}^{z} e^{-t^2/2} \, dt$$
提示：注意积分限变换时符号变化
步骤 4/6
目标：步骤4：用标准正态分布函数表示
标准正态分布函数 $\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2} \, dt$。
因此，$f_Z(z) = \int_{z-1}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2} \, dt = \Phi(z) - \Phi(z-1)$。
公式：$$f_Z(z) = \Phi(z) - \Phi(z-1)$$
提示：注意积分上下限对应z-1到z
步骤 5/6
目标：步骤5：确定定义域
由于 $Y \in [0,1]$，$X \in (-\infty, +\infty)$，$Z = X+Y$ 的取值范围为 $(-\infty, +\infty)$。但 $f_Z(z)$ 的表达式 $\Phi(z) - \Phi(z-1)$ 对所有实数 $z$ 均成立，无需分段。
注意：当 $z<0$ 时，$\Phi(z)$ 和 $\Phi(z-1)$ 均接近0，差值为正；当 $z>1$ 时，两者均接近1，差值仍为正。因此最终表达式统一为 $f_Z(z) = \Phi(z) - \Phi(z-1)$。
提示：注意定义域为全体实数，无需分段。
步骤 6/6
目标：步骤6：给出最终答案
因此，$Z$ 的概率密度函数为：
$f_Z(z) = \Phi(z) - \Phi(z-1), \quad z \in \mathbb{R}$，其中 $\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2} \, dt$ 为标准正态分布函数。
公式：$$f_Z(z) = \Phi(z) - \Phi(z-1), \quad z \in \mathbb{R}$$
提示：注意独立随机变量和的卷积公式应用
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