kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第312题

教材习题

📝 题目

### 第312题

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

$$ f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^{2}-y^{2}},-\infty

求（1）常数 $A$ ； （2）条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ．

💡 答案解析

**答案**：（1）$\displaystyle A=\frac{\sqrt{2}}{\pi}$；（2）$\displaystyle f_{Y|X}(y|x)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}e^{-y^2}$ **解析**：步骤1：由归一化$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} A e^{-2x^2-y^2}dxdy=1$，得$\displaystyle A \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \sqrt{\pi}=1$，故$\displaystyle A=\frac{\sqrt{2}}{\pi}$。 步骤2：$\displaystyle f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{\pi} e^{-2x^2-y^2}dy = \frac{\sqrt{2}}{\pi} e^{-2x^2} \cdot \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-2x^2}$。 步骤3：条件密度$\displaystyle f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\pi} e^{-2x^2-y^2}}{\sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-y^2}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：利用概率密度归一性求常数A
由概率密度的归一性： $$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dxdy = 1$$ 代入$f(x,y)=A e^{-2x^2-y^2}$得： $$A \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2x^2} dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy = 1$$ 利用高斯积分公式$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$，有： $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy = \sqrt{\pi}$$ 因此： $$A \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \sqrt{\pi} = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$$
公式：$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$
提示：注意高斯积分中a的正负和系数
步骤 2/4
目标：求边缘概率密度f_X(x)
边缘概率密度$f_X(x)$通过对$y$积分得到： $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{\pi} e^{-2x^2 - y^2} dy$$ 提出与$y$无关的因子： $$f_X(x) = \frac{\sqrt{2}}{\pi} e^{-2x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy = \frac{\sqrt{2}}{\pi} e^{-2x^2} \cdot \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-2x^2}$$
公式：$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy$$
提示：积分时注意提取与y无关的因子
步骤 3/4
目标：求条件概率密度f_{Y|X}(y|x)
条件概率密度公式： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$ 代入已求得的$f(x,y)$和$f_X(x)$： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\pi} e^{-2x^2 - y^2}}{\sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-2x^2}} = \frac{\sqrt{2}/\pi}{\sqrt{2/\pi}} \cdot e^{-y^2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-y^2}$$
公式：$$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$
提示：注意系数化简，确保分母正确
步骤 4/4
目标：给出最终答案
（1）常数 $A = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$； （2）条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-y^2}$。
提示：注意常数A的归一化条件

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