kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第313题
📝 题目
### 第313题
二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y),-\infty $$ f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{lc} 1, & 0 当 $0 $$ f_{Y \mid X}(y \mid x)=\left\{\begin{array}{cc} $\displaystyle \frac{1}{x}, & 0 求 $f(x, y),-\infty
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{x}, & 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：写出联合概率密度与条件概率密度的关系
由概率论知识，联合概率密度 $f(x,y)$ 等于边缘概率密度 $f_X(x)$ 与条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$ 的乘积，即 $$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_{Y|X}(y|x).$$
公式：$$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_{Y|X}(y|x)$$
提示：注意条件概率密度中条件变量的顺序
步骤 2/5
目标：步骤2：代入已知的边缘概率密度
已知 $X$ 的边缘概率密度为 $$f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$ 因此，当 $0 < x < 1$ 时，$f_X(x) = 1$；其他情况 $f_X(x) = 0$。
公式：$$f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$
提示：注意分段函数的定义域
步骤 3/5
目标：步骤3：代入已知的条件概率密度
当 $0 < x < 1$ 时，条件概率密度为 $$f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & 0 < y < x, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$ 因此，在 $0 < x < 1$ 且 $0 < y < x$ 的区域内，$f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{x}$。
公式：$$f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & 0 < y < x, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$
提示：注意条件概率密度定义域为0
步骤 4/5
目标：步骤4：计算联合概率密度
将步骤2和步骤3的结果代入步骤1的公式：当 $0 < x < 1$ 且 $0 < y < x$ 时，$$f(x,y) = 1 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}.$$ 在其他区域，由于 $f_X(x)=0$ 或 $f_{Y|X}(y|x)=0$，故 $f(x,y)=0$。
公式：$$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_{Y|X}(y|x) = 1 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$
提示：注意定义域：0
步骤 5/5
目标：步骤5：写出最终表达式
综合以上，联合概率密度为 $$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & 0 < x < 1, \, 0 < y < x, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$
公式：$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & 0 < x < 1, \, 0 < y < x, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$
提示：注意联合密度的支撑区域是三角形
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