kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第314题

教材习题

📝 题目

### 第314题

设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

$$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} $\displaystyle \frac{k}{2} x \mathrm{e}^{-(x+y)}, & x>0, y>0, ~ \\$ 0, & \text { 其他. } $\end{array}\right.$ $$

（1）求常数 $k$ ； （2）求 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘概率密度； （3）判断随机变量 $X$ 和 $Y$ 是否相互独立．

💡 答案解析

**答案**：（1）$k=2$；（2）$f_X(x)=x\mathrm{e}^{-x}\ (x>0)$，$f_Y(y)=\mathrm{e}^{-y}\ (y>0)$；（3）相互独立。 **解析**：步骤1：由$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$，得$\displaystyle \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{k}{2}x\mathrm{e}^{-(x+y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$。先对$y$积分得$\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{k}{2}x\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x=1$，再对$x$积分得$\displaystyle \frac{k}{2}=1$，故$k=2$。 步骤2：$f_X(x)=\int_0^{+\infty}x\mathrm{e}^{-(x+y)}\mathrm{d}y=x\mathrm{e}^{-x}\ (x>0)$；$f_Y(y)=\int_0^{+\infty}x\mathrm{e}^{-(x+y)}\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{-y}\ (y>0)$。 步骤3：由于$f(x,y)=x\mathrm{e}^{-x}\cdot\mathrm{e}^{-y}=f_X(x)f_Y(y)$，故$X$与$Y$相互独立。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：步骤1：利用概率密度归一性求常数k
由概率密度的归一性，有 $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dxdy = 1. $$ 代入$f(x,y)$的表达式，得 $$ \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} \frac{k}{2} x e^{-(x+y)} \, dxdy = 1. $$ 先对$y$积分： $$ \int_0^{+\infty} \frac{k}{2} x e^{-x} \left( \int_0^{+\infty} e^{-y} dy \right) dx = \int_0^{+\infty} \frac{k}{2} x e^{-x} \cdot 1 \, dx = \frac{k}{2} \int_0^{+\infty} x e^{-x} dx. $$ 计算$\int_0^{+\infty} x e^{-x} dx = 1$（利用Gamma函数或分部积分），因此 $$ \frac{k}{2} \cdot 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad k = 2. $$
公式：$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dxdy = 1$$
提示：注意积分区域为非负象限
步骤 2/5
目标：步骤2：求关于X的边缘概率密度
边缘概率密度$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy$。当$x>0$时， $$ f_X(x) = \int_0^{+\infty} \frac{2}{2} x e^{-(x+y)} \, dy = x e^{-x} \int_0^{+\infty} e^{-y} dy = x e^{-x} \cdot 1 = x e^{-x}, \quad x>0. $$ 当$x \leq 0$时，$f_X(x)=0$。
公式：$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy$$
提示：注意积分限和x的符号条件
步骤 3/5
目标：步骤3：求关于Y的边缘概率密度
边缘概率密度$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx$。当$y>0$时， $$ f_Y(y) = \int_0^{+\infty} x e^{-(x+y)} \, dx = e^{-y} \int_0^{+\infty} x e^{-x} dx = e^{-y} \cdot 1 = e^{-y}, \quad y>0. $$ 当$y \leq 0$时，$f_Y(y)=0$。
公式：$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx$$
提示：注意积分限和变量范围
步骤 4/5
目标：步骤4：判断X与Y的独立性
由于$f(x,y) = x e^{-(x+y)} = (x e^{-x}) \cdot (e^{-y}) = f_X(x) f_Y(y)$对所有的$x,y$成立，因此随机变量$X$和$Y$相互独立。
公式：$$f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$$
提示：注意联合密度可分解为边缘密度乘积
步骤 5/5
目标：步骤5：给出最终答案
（1）$k=2$； （2）$f_X(x)=x e^{-x} \ (x>0)$，$f_Y(y)=e^{-y} \ (y>0)$； （3）$X$与$Y$相互独立。
提示：注意验证独立性时需检查联合密度是否等于边缘密度乘积。

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