kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第315题
📝 题目
### 第315题
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 的分布为 | $X$ | -1 | 1 | | :--- | :--- | :--- | | $P$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ |,$Y$ 服从 $N(0,1)$ 分布．记 $Z=X Y$ ，求 $Z$ 的分布函数 $F_{Z}(z)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle F_Z(z)=\frac{1}{2}\Phi(z)+\frac{1}{2}[1-\Phi(-z)]$，其中$\Phi$为标准正态分布函数。 **解析**：步骤1：$Z=XY$，$X$与$Y$独立。$F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(XY\leq z)$。 步骤2：全概率公式，$\displaystyle F_Z(z)=P(X=-1)P(-Y\leq z)+P(X=1)P(Y\leq z)=\frac{1}{2}P(Y\geq -z)+\frac{1}{2}P(Y\leq z)=\frac{1}{2}[1-\Phi(-z)]+\frac{1}{2}\Phi(z)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定随机变量关系与分布函数定义
由题意，$X$与$Y$相互独立，$X$服从两点分布：$P(X=-1)=\frac{1}{2}$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$；$Y\sim N(0,1)$。定义$Z=XY$，其分布函数为$F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(XY\leq z)$。
公式：$$F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(XY\leq z)$$
提示：注意独立性与分布定义
步骤 2/5
目标：应用全概率公式分解事件
由于$X$取离散值，利用全概率公式：$F_Z(z)=P(X=-1)P(XY\leq z\mid X=-1)+P(X=1)P(XY\leq z\mid X=1)$。代入概率得：$F_Z(z)=\frac{1}{2}P(-Y\leq z)+\frac{1}{2}P(Y\leq z)$。
公式：$$F_Z(z) = P(X=-1)P(XY \leq z \mid X=-1) + P(X=1)P(XY \leq z \mid X=1)$$
提示：注意条件概率中X的取值影响Y的符号
步骤 3/5
目标：化简条件概率
对于$P(-Y\leq z)$，等价于$P(Y\geq -z)$。由于$Y$是连续型随机变量，$P(Y\geq -z)=1-P(Y<-z)=1-\Phi(-z)$，其中$\Phi$为标准正态分布函数。
公式：$$P(Y\geq -z)=1-\Phi(-z)$$
提示：注意连续型变量取等号不影响概率
步骤 4/5
目标：代入并整理表达式
将$P(Y\leq z)=\Phi(z)$和$P(Y\geq -z)=1-\Phi(-z)$代入：$F_Z(z)=\frac{1}{2}[1-\Phi(-z)]+\frac{1}{2}\Phi(z)$。
公式：$$F_Z(z)=\frac{1}{2}[1-\Phi(-z)]+\frac{1}{2}\Phi(z)$$
提示：注意代入时符号和概率的对应关系
步骤 5/5
目标：最终结果
因此，$Z$的分布函数为：$\displaystyle F_Z(z)=\frac{1}{2}\Phi(z)+\frac{1}{2}[1-\Phi(-z)]$，其中$\Phi$为标准正态分布函数。
公式：$$F_Z(z)=\frac{1}{2}\Phi(z)+\frac{1}{2}[1-\Phi(-z)]$$
提示：注意独立性和分布函数定义
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