kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第316题
📝 题目
### 第316题
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，求 $Z=\min (X, Y)$ 的数学期望 $E(Z)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \mu-\frac{\sigma}{\sqrt{\pi}}$ **解析**：步骤1：$Z=\min(X,Y)$，$X,Y$独立同分布$N(\mu,\sigma^2)$。$E(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\min(x,y)f(x)f(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。 步骤2：利用对称性和顺序统计量期望公式，$\displaystyle E(Z)=\mu-\frac{\sigma}{\sqrt{\pi}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：写出期望的积分表达式
由于 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，概率密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，则 $Z=\min(X,Y)$ 的数学期望为：
$$E(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\min(x,y)f(x)f(y)\,dx\,dy$$
公式：$$E(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\min(x,y)f(x)f(y)\,dx\,dy$$
提示：注意积分区域的分割处理
步骤 2/5
目标：步骤2：利用对称性简化积分
由于 $\min(x,y)=\frac{x+y-|x-y|}{2}$，代入得：
$$E(Z)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y-|x-y|)f(x)f(y)\,dx\,dy$$
由对称性，$\int\int x f(x)f(y)\,dx\,dy = \int x f(x)\,dx \cdot \int f(y)\,dy = \mu$，同理 $\int\int y f(x)f(y)\,dx\,dy = \mu$，所以：
$$E(Z)=\frac{1}{2}\left(2\mu - \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}|x-y|f(x)f(y)\,dx\,dy\right)=\mu - \frac{1}{2}E(|X-Y|)$$
公式：$$\min(x,y)=\frac{x+y-|x-y|}{2}$$
提示：注意对称性简化积分时不要遗漏系数
步骤 3/5
目标：步骤3：计算 $E(|X-Y|)$
令 $U=X-Y$，由于 $X$ 和 $Y$ 独立且均服从 $N(\mu,\sigma^2)$，则 $U\sim N(0,2\sigma^2)$，其概率密度函数为 $g(u)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}\sigma}e^{-\frac{u^2}{4\sigma^2}}$。于是：
$$E(|U|)=\int_{-\infty}^{+\infty}|u|g(u)\,du = 2\int_0^{+\infty}u\cdot\frac{1}{\sqrt{4\pi}\sigma}e^{-\frac{u^2}{4\sigma^2}}\,du$$
令 $t=\frac{u}{\sqrt{2}\sigma}$，则 $du=\sqrt{2}\sigma\,dt$，积分变为：
$$E(|U|)=\frac{2}{\sqrt{4\pi}\sigma}\int_0^{+\infty}\sqrt{2}\sigma t\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}\cdot\sqrt{2}\sigma\,dt = \frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty}t e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt$$
计算 $\int_0^{+\infty}t e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt = 1$，所以 $E(|U|)=\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}$。
公式：$$E(|U|)=\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty} t e^{-\frac{t^2}{2}} dt$$
提示：注意积分变量替换时系数不要遗漏
步骤 4/5
目标：步骤4：代入得到 $E(Z)$
将 $E(|X-Y|)=\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}$ 代入步骤2的结果：
$$E(Z)=\mu - \frac{1}{2}\cdot\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}} = \mu - \frac{\sigma}{\sqrt{\pi}}$$
公式：$$E(Z)=\mu - \frac{1}{2}E(|X-Y|)=\mu - \frac{\sigma}{\sqrt{\pi}}$$
提示：注意代入时系数1/2不要遗漏
步骤 5/5
目标：步骤5：给出最终答案
因此，随机变量 $Z=\min(X,Y)$ 的数学期望为：
$$\boxed{E(Z)=\mu - \frac{\sigma}{\sqrt{\pi}}}$$
公式：$$E(Z)=\mu - \frac{\sigma}{\sqrt{\pi}}$$
提示：注意独立同分布正态的最小值期望公式
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