kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第317题
📝 题目
### 第317题
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 | $X$ | -1 | 1 | | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ |,$Y \sim P(\lambda)$ ，令 $Z=X Y$ ，求 $\operatorname{Cov}(X, Z)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\operatorname{Cov}(X,Z)=1$ **解析**：步骤1：$\operatorname{Cov}(X,Z)=\operatorname{Cov}(X,XY)=E(X^2Y)-E(X)E(XY)$。 步骤2：$X$与$Y$独立，$E(X)=0$，$E(X^2)=1$，$E(Y)=\lambda$，$E(XY)=E(X)E(Y)=0$，故$\operatorname{Cov}(X,Z)=1\cdot\lambda-0= \lambda$。 **注意**：题目中$Y\sim P(\lambda)$，$E(Y)=\lambda$，故答案为$\lambda$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出协方差公式
由协方差定义，$\operatorname{Cov}(X,Z) = \operatorname{Cov}(X, XY) = E(X \cdot XY) - E(X)E(XY) = E(X^2Y) - E(X)E(XY)$。
公式：$$\operatorname{Cov}(X,Z) = E(X \cdot XY) - E(X)E(XY) = E(X^2Y) - E(X)E(XY)$$
提示：注意协方差定义中乘积的期望与期望的乘积之差
步骤 2/6
目标：利用独立性简化期望
由于$X$与$Y$相互独立，有$E(X^2Y) = E(X^2)E(Y)$，$E(XY) = E(X)E(Y)$。
公式：$$E(X^2Y) = E(X^2)E(Y), \quad E(XY) = E(X)E(Y)$$
提示：注意独立时乘积期望等于期望乘积
步骤 3/6
目标：计算$X$的期望和二阶矩
由$X$的分布：$P(X=-1)=\frac12$，$P(X=1)=\frac12$，得$E(X)=(-1)\cdot\frac12+1\cdot\frac12=0$，$E(X^2)=(-1)^2\cdot\frac12+1^2\cdot\frac12=1$。
公式：$$E(X)=\sum x_i P(X=x_i),\quad E(X^2)=\sum x_i^2 P(X=x_i)$$
提示：注意二阶矩是平方的期望，不是期望的平方
步骤 4/6
目标：计算$Y$的期望
由$Y \sim P(\lambda)$，得$E(Y)=\lambda$。
公式：$$E(Y)=\lambda$$
提示：泊松分布的期望等于参数λ
步骤 5/6
目标：代入计算协方差
代入得$\operatorname{Cov}(X,Z)=E(X^2)E(Y)-E(X)E(X)E(Y)=1\cdot\lambda-0\cdot0\cdot\lambda=\lambda$。
公式：$$\operatorname{Cov}(X,Z)=E(X^2)E(Y)-E(X)E(X)E(Y)$$
提示：注意独立时协方差公式的简化
步骤 6/6
目标：得出答案
因此，$\operatorname{Cov}(X,Z)=\lambda$。
公式：$$\operatorname{Cov}(X,Z) = \lambda$$
提示：注意协方差公式应用
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