📝 题目
### 第319题
设随机变量 $X_{1}, X_{2}$ 相互独立，$X_{1} \sim E(1), X_{2} \sim E(\lambda)(\lambda>0)$ 。令 $Y=\min \left\{X_{1}, X_{2}\right\}$ ， $Z=\max \left\{X_{1}, 1\right\}$ ．
求：（1）$Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ ； （2）$P\left\{\left|X_{1}\right|>2 \mid X_{1}>1\right\}$ ； （3）$Z$ 的数学期望 $E(Z)$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$f_Y(y)=(\lambda+1)\mathrm{e}^{-(\lambda+1)y}, y>0$；（2）$\mathrm{e}^{-2}$；（3）$\displaystyle E(Z)=1+\frac{1}{\lambda+1}\mathrm{e}^{-(\lambda+1)}$。 **解析**：步骤1：$Y=\min(X_1,X_2)$，$X_1\sim E(1)$，$X_2\sim E(\lambda)$，$F_Y(y)=1-\mathrm{e}^{-y}\cdot\mathrm{e}^{-\lambda y}=1-\mathrm{e}^{-(\lambda+1)y}$，求导得$f_Y(y)=(\lambda+1)\mathrm{e}^{-(\lambda+1)y}, y>0$。 步骤2：$P\{|X_1|>2|X_1>1\}=P\{X_1>2|X_1>1\}=P\{X_1>2\}/P\{X_1>1\}=\mathrm{e}^{-2}/\mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{-1}$（指数分布无记忆性，直接得$\mathrm{e}^{-1}$）。 步骤3：$Z=\max(X_1,1)$，$E(Z)=\int_0^{+\infty}\max(x,1)\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x=\int_0^1 1\cdot\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x+\int_1^{+\infty}x\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x=1-\mathrm{e}^{-1}+2\mathrm{e}^{-1}=1+\mathrm{e}^{-1}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：求Y的概率密度函数
由于$X_1 \sim E(1)$，$X_2 \sim E(\lambda)$，且相互独立，则$Y = \min\{X_1, X_2\}$的分布函数为：
$$F_Y(y) = P(Y \leq y) = 1 - P(X_1 > y, X_2 > y) = 1 - e^{-y} \cdot e^{-\lambda y} = 1 - e^{-(\lambda+1)y}, \quad y > 0.$$
对$F_Y(y)$求导得概率密度：
$$f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) = (\lambda+1)e^{-(\lambda+1)y}, \quad y > 0.$$
公式：$$F_Y(y) = 1 - e^{-(\lambda+1)y}, \quad f_Y(y) = (\lambda+1)e^{-(\lambda+1)y}, \quad y>0$$
提示：注意指数分布参数与生存函数形式
目标：计算条件概率
由于$X_1$服从指数分布，其取值非负，故$|X_1| = X_1$。利用指数分布的无记忆性：
$$P\left\{|X_1| > 2 \mid X_1 > 1\right\} = P\left\{X_1 > 2 \mid X_1 > 1\right\} = P\left\{X_1 > 1\right\} = e^{-1}.$$
或者直接计算：
$$P\left\{X_1 > 2 \mid X_1 > 1\right\} = \frac{P(X_1 > 2)}{P(X_1 > 1)} = \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = e^{-1}.$$
公式：$$P\{X_1 > 2 \mid X_1 > 1\} = \frac{P(X_1 > 2)}{P(X_1 > 1)} = e^{-1}$$
提示：注意指数分布无记忆性的应用
目标：求Z的数学期望
$Z = \max\{X_1, 1\}$，$X_1$的概率密度为$f_{X_1}(x) = e^{-x}, x > 0$。则
$$E(Z) = \int_0^{+\infty} \max(x, 1) \cdot e^{-x} \, dx = \int_0^1 1 \cdot e^{-x} \, dx + \int_1^{+\infty} x e^{-x} \, dx.$$
计算第一项：$\int_0^1 e^{-x} \, dx = 1 - e^{-1}$。
计算第二项：$\int_1^{+\infty} x e^{-x} \, dx$，利用分部积分或已知结果$\int_a^{+\infty} x e^{-x} \, dx = (a+1)e^{-a}$，得$\int_1^{+\infty} x e^{-x} \, dx = 2e^{-1}$。
因此，$E(Z) = (1 - e^{-1}) + 2e^{-1} = 1 + e^{-1}$。
公式：$$E(Z) = \int_0^{+\infty} \max(x, 1) \cdot e^{-x} \, dx = \int_0^1 e^{-x} \, dx + \int_1^{+\infty} x e^{-x} \, dx$$
提示：注意分段积分时上下限的选取
目标：给出最终答案
（1）$f_Y(y) = (\lambda+1)e^{-(\lambda+1)y}, \quad y > 0$；
（2）$P\left\{|X_1| > 2 \mid X_1 > 1\right\} = e^{-1}$；
（3）$E(Z) = 1 + e^{-1}$。
提示：注意指数分布无记忆性