kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第320题
📝 题目
### 第320题
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}},-\infty
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle F_X(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}$；（2）$\displaystyle f_Y(y)=\frac{1}{(1+y)^2}, y>0$；（3）不存在。 **解析**：步骤1：$\displaystyle F_X(x)=\int_{-\infty}^x\frac{\mathrm{e}^t}{(1+\mathrm{e}^t)^2}\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}$。 步骤2：$Y=\mathrm{e}^X$，$y>0$，$\displaystyle F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X\leq \ln y)=\frac{y}{1+y}$，求导得$\displaystyle f_Y(y)=\frac{1}{(1+y)^2}, y>0$。 步骤3：$\displaystyle E(Y)=\int_0^{+\infty}y\cdot\frac{1}{(1+y)^2}\mathrm{d}y$发散，故期望不存在。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求X的分布函数
由概率密度函数 $f(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$，分布函数 $F_X(x)=\int_{-\infty}^x \frac{e^t}{(1+e^t)^2} dt$。令 $u=1+e^t$，则 $du=e^t dt$，积分限：$t\to -\infty$ 时 $u\to 1$，$t=x$ 时 $u=1+e^x$。于是 $F_X(x)=\int_1^{1+e^x} \frac{1}{u^2} du = \left[-\frac{1}{u}\right]_1^{1+e^x} = 1-\frac{1}{1+e^x} = \frac{e^x}{1+e^x}$。
公式：$$F_X(x)=\int_{-\infty}^x \frac{e^t}{(1+e^t)^2} dt = 1-\frac{1}{1+e^x}$$
提示：注意换元时积分限的变化
步骤 2/5
目标：求Y的分布函数
由于 $Y=e^X$，$y>0$。$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(e^X\leq y)=P(X\leq \ln y)=F_X(\ln y)=\frac{e^{\ln y}}{1+e^{\ln y}}=\frac{y}{1+y}$。
公式：$$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(e^X\leq y)=P(X\leq \ln y)=F_X(\ln y)$$
提示：注意Y>0，ln定义域为正
步骤 3/5
目标：求Y的概率密度
对 $F_Y(y)$ 求导得 $f_Y(y)=\frac{d}{dy}\left(\frac{y}{1+y}\right)=\frac{(1+y)-y}{(1+y)^2}=\frac{1}{(1+y)^2}$，$y>0$。
公式：$$f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{1}{(1+y)^2}$$
提示：注意求导时使用商的导数法则
步骤 4/5
目标：判断Y的期望是否存在
$E(Y)=\int_0^{+\infty} y \cdot \frac{1}{(1+y)^2} dy = \int_0^{+\infty} \frac{y}{(1+y)^2} dy$。考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{y}{(1+y)^2} dy$，当 $y\to +\infty$ 时，$\frac{y}{(1+y)^2}\sim \frac{1}{y}$，而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{y} dy$ 发散，故原积分发散，期望不存在。
公式：$$\int_1^{+\infty} \frac{y}{(1+y)^2} dy \sim \int_1^{+\infty} \frac{1}{y} dy$$
提示：注意比较判别法判断发散
步骤 5/5
目标：答案
（1）$F_X(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$；（2）$f_Y(y)=\frac{1}{(1+y)^2}, y>0$；（3）$Y$ 的期望不存在。
提示：注意分布函数求导得密度函数
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