kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第321题
📝 题目
### 第321题
设随机变量 $(X, Y)$ 在单位圆 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 内服从均匀分布，试求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 。
💡 答案解析
**答案**：$\rho_{XY}=0$ **解析**：步骤1：$(X,Y)$在单位圆内均匀分布，区域面积$\pi$，故$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{\pi}, x^2+y^2\leq1$。 步骤2：由对称性，$E(X)=0$，$E(Y)=0$，$\displaystyle E(XY)=\iint_{x^2+y^2\leq1}\frac{xy}{\pi}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$（奇函数对称性），故$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，$\rho_{XY}=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定联合概率密度函数
由于 $(X,Y)$ 在单位圆 $D: x^2+y^2 \leq 1$ 内服从均匀分布，区域面积为 $\pi$，因此联合概率密度函数为：
$$ f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2+y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
公式：$$ f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2+y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
提示：注意均匀分布密度为面积倒数
步骤 2/5
目标：计算期望 $E(X)$ 和 $E(Y)$
由对称性，单位圆关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，且 $f(x,y)$ 是偶函数，因此：
$$ E(X) = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} x \cdot \frac{1}{\pi} \, dxdy = 0, \quad E(Y) = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} y \cdot \frac{1}{\pi} \, dxdy = 0 $$
提示：利用对称性简化期望计算
步骤 3/5
目标：计算期望 $E(XY)$
计算 $E(XY)$：
$$ E(XY) = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} xy \cdot \frac{1}{\pi} \, dxdy $$
被积函数 $xy$ 关于 $x$ 是奇函数，且积分区域关于 $y$ 轴对称，因此积分值为 $0$：
$$ E(XY) = 0 $$
公式：$$E(XY) = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} xy \cdot \frac{1}{\pi} \, dxdy$$
提示：注意奇函数在对称区域积分为0
步骤 4/5
目标：计算协方差 $\operatorname{Cov}(X,Y)$
协方差公式为 $\operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$，代入已得结果：
$$ \operatorname{Cov}(X,Y) = 0 - 0 \cdot 0 = 0 $$
公式：$$\operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$$
提示：注意E(XY)和E(X)E(Y)均为0
步骤 5/5
目标：计算相关系数 $\rho_{XY}$
相关系数公式为 $\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，由于协方差为 $0$，故：
$$ \rho_{XY} = 0 $$
公式：$$\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$$
提示：对称区域均匀分布协方差为0
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