kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第322题
📝 题目
### 第322题
设 $X \sim N(0,1)$ ，试证：$E\left(X^{k}\right)=\left\{\begin{array}{cl}(k-1)(k-3) \cdots 1, & k \text { 为正偶数，} \\ 0, & k \text { 为正奇数．}\end{array}\right.$
💡 答案解析
**答案**：见解析。 **解析**：步骤1：$X\sim N(0,1)$，$\displaystyle E(X^k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}x^k\mathrm{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x$。 步骤2：$k$为奇数时，被积函数为奇函数，积分为0。 步骤3：$k$为偶数时，令$k=2m$，$\displaystyle E(X^{2m})=\frac{2^m}{\sqrt{\pi}}\Gamma(m+\frac{1}{2})=(2m-1)!!$，即$(k-1)(k-3)\cdots1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出期望的积分表达式
由于 $X \sim N(0,1)$，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$，则 $E(X^k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^k e^{-x^2/2} \, dx$。
公式：$$E(X^k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^k e^{-x^2/2} \, dx$$
提示：注意积分区间为全体实数
步骤 2/6
目标：讨论k为奇数的情况
当 $k$ 为正奇数时，被积函数 $x^k e^{-x^2/2}$ 是奇函数（因为 $x^k$ 是奇函数，$e^{-x^2/2}$ 是偶函数，乘积为奇函数），在对称区间 $(-\infty, +\infty)$ 上的积分为 $0$，因此 $E(X^k) = 0$。
提示：奇函数在对称区间积分为0
步骤 3/6
目标：讨论k为偶数的情况，令k=2m
当 $k$ 为正偶数时，令 $k = 2m$，其中 $m$ 为正整数。则 $E(X^{2m}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2m} e^{-x^2/2} \, dx$。利用对称性，积分可化为 $\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{+\infty} x^{2m} e^{-x^2/2} \, dx$。
公式：$$E(X^{2m}) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{+\infty} x^{2m} e^{-x^2/2} \, dx$$
提示：注意利用偶函数对称性简化积分
步骤 4/6
目标：变量代换化为Gamma函数
令 $t = x^2/2$，则 $x = \sqrt{2t}$，$dx = \frac{1}{\sqrt{2t}} dt$，且 $x^{2m} = (2t)^m$。代入得：$E(X^{2m}) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{+\infty} (2t)^m e^{-t} \cdot \frac{1}{\sqrt{2t}} \, dt = \frac{2^m}{\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty} t^{m-1/2} e^{-t} \, dt = \frac{2^m}{\sqrt{\pi}} \Gamma\left(m + \frac{1}{2}\right)$。
公式：$$E(X^{2m}) = \frac{2^m}{\sqrt{\pi}} \Gamma\left(m + \frac{1}{2}\right)$$
提示：注意代换后积分限和dx的变换
步骤 5/6
目标：利用Gamma函数的性质化简
由Gamma函数的性质：$\Gamma\left(m + \frac{1}{2}\right) = \frac{(2m-1)!!}{2^m} \sqrt{\pi}$，代入得 $E(X^{2m}) = \frac{2^m}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{(2m-1)!!}{2^m} \sqrt{\pi} = (2m-1)!!$。
公式：$$\Gamma\left(m + \frac{1}{2}\right) = \frac{(2m-1)!!}{2^m} \sqrt{\pi}$$
提示：注意双阶乘与阶乘的区别
步骤 6/6
目标：给出最终结论
由于 $(2m-1)!! = (2m-1)(2m-3)\cdots 1$，且 $k=2m$，因此 $E(X^k) = (k-1)(k-3)\cdots 1$。综上，$E(X^k) = \begin{cases} (k-1)(k-3)\cdots 1, & k \text{为正偶数}, \\ 0, & k \text{为正奇数}. \end{cases}$
公式：$$E(X^k) = \begin{cases} (k-1)(k-3)\cdots 1, & k \text{为正偶数}, \\ 0, & k \text{为正奇数}. \end{cases}$$
提示：注意奇偶性区分，双阶乘定义
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