kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第323题
📝 题目
### 第323题
设 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，试证： （1）$\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}+n(\bar{X}-\mu)^{2} ;$ （2）$\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-n \bar{X}^{2}$ ．
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💡 答案解析
**答案**：见解析。 **解析**：步骤1：$\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2=\sum_{i=1}^n[(X_i-\bar{X})+(\bar{X}-\mu)]^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2+2(\bar{X}-\mu)\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})+n(\bar{X}-\mu)^2$，而$\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})=0$，故得证。 步骤2：$\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2=\sum_{i=1}^n(X_i^2-2X_i\bar{X}+\bar{X}^2)=\sum_{i=1}^n X_i^2-2\bar{X}\sum_{i=1}^n X_i+n\bar{X}^2=\sum_{i=1}^n X_i^2-2n\bar{X}^2+n\bar{X}^2=\sum_{i=1}^n X_i^2-n\bar{X}^2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明（1）
将 $(X_i - \mu)$ 拆分为 $(X_i - \bar{X}) + (\bar{X} - \mu)$，则
\[
\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n [(X_i - \bar{X}) + (\bar{X} - \mu)]^2
= \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 + 2(\bar{X} - \mu)\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}) + n(\bar{X} - \mu)^2.
\]
由于 $\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}) = \sum_{i=1}^n X_i - n\bar{X} = 0$，交叉项消失，故
\[
\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 + n(\bar{X} - \mu)^2.
\]
公式：$$\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 + n(\bar{X} - \mu)^2$$
提示：注意交叉项求和为零的条件
步骤 2/3
目标：证明（2）
展开平方项：
\[
\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 2X_i\bar{X} + \bar{X}^2)
= \sum_{i=1}^n X_i^2 - 2\bar{X}\sum_{i=1}^n X_i + n\bar{X}^2.
\]
由于 $\sum_{i=1}^n X_i = n\bar{X}$，代入得
\[
\sum_{i=1}^n X_i^2 - 2\bar{X} \cdot n\bar{X} + n\bar{X}^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - 2n\bar{X}^2 + n\bar{X}^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2.
\]
公式：$$\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2$$
提示：注意平方展开后代入nX̄的恒等式
步骤 3/3
目标：结论
因此，两个等式均得证：
（1）$\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 + n(\bar{X} - \mu)^2$；
（2）$\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2$。
公式：$$\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 + n(\bar{X} - \mu)^2$$
提示：注意平方和分解时交叉项为零
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