kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第324题

教材习题

📝 题目

### 第324题

设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本，记 $\displaystyle Y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-\mu\right|$ ，试证：（1）$\displaystyle E(Y)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sigma$ ； （2）$\displaystyle D(Y)=\left(1-\frac{2}{\pi}\right) \frac{\sigma^{2}}{n}$ ． 建衩答题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

💡 答案解析

**答案**：见解析。 **解析**：步骤1：令$\displaystyle Z_i=\frac{X_i-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，则$\displaystyle Y=\frac{\sigma}{n}\sum_{i=1}^n|Z_i|$，$\displaystyle E(|Z_i|)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$，故$\displaystyle E(Y)=\sigma\sqrt{\frac{2}{\pi}}$。 步骤2：$\displaystyle D(|Z_i|)=E(Z_i^2)-[E(|Z_i|)]^2=1-\frac{2}{\pi}$，由独立同分布，$\displaystyle D(Y)=\frac{\sigma^2}{n^2}\cdot n\cdot\left(1-\frac{2}{\pi}\right)=\left(1-\frac{2}{\pi}\right)\frac{\sigma^2}{n}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：标准化变换
令 $Z_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$，则 $Z_i \sim N(0,1)$ 且相互独立。于是 $Y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |X_i - \mu| = \frac{\sigma}{n} \sum_{i=1}^n |Z_i|$。
公式：$$Z_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}, \quad Y = \frac{\sigma}{n} \sum_{i=1}^n |Z_i|$$
提示：注意标准化后绝对值处理
步骤 2/5
目标：计算期望 $E(Y)$
由于 $Z_i \sim N(0,1)$，有 $E(|Z_i|) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$。因此 $E(Y) = \frac{\sigma}{n} \sum_{i=1}^n E(|Z_i|) = \frac{\sigma}{n} \cdot n \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sigma$。
公式：$$E(|Z_i|) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$$
提示：注意绝对值期望的公式推导
步骤 3/5
目标：计算方差 $D(|Z_i|)$
因为 $Z_i^2 \sim \chi^2(1)$，所以 $E(Z_i^2) = 1$。于是 $D(|Z_i|) = E(Z_i^2) - [E(|Z_i|)]^2 = 1 - \frac{2}{\pi}$。
公式：$$D(|Z_i|) = E(Z_i^2) - [E(|Z_i|)]^2$$
提示：注意卡方分布期望为自由度，此处为1
步骤 4/5
目标：计算方差 $D(Y)$
由独立同分布，$D(Y) = \frac{\sigma^2}{n^2} \sum_{i=1}^n D(|Z_i|) = \frac{\sigma^2}{n^2} \cdot n \cdot \left(1 - \frac{2}{\pi}\right) = \left(1 - \frac{2}{\pi}\right) \frac{\sigma^2}{n}$。
公式：$$D(Y) = \frac{\sigma^2}{n^2} \sum_{i=1}^n D(|Z_i|) = \frac{\sigma^2}{n^2} \cdot n \cdot \left(1 - \frac{2}{\pi}\right) = \left(1 - \frac{2}{\pi}\right) \frac{\sigma^2}{n}$$
提示：注意Z_i为标准正态，D(|Z_i|)=1-2/π
步骤 5/5
目标：结论
因此，（1）$E(Y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sigma$ 成立；（2）$D(Y) = \left(1 - \frac{2}{\pi}\right) \frac{\sigma^2}{n}$ 成立。
提示：注意Y是样本均值的绝对值

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