📝 题目
### 第325题
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{9}$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y_{1}=\frac{1}{6}\left(X_{1}+\cdots+X_{6}\right), Y_{2}= \frac{1}{3}\left(X_{7}+X_{8}+X_{9}\right), S^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i=7}^{9}\left(X_{i}-Y_{2}\right)^{2}, Z=\frac{\sqrt{2}\left(Y_{1}-Y_{2}\right)}{S}$ ，求统计量 $Z$ 服从的分布及参数．
彎题 区1或
💡 答案解析
**答案**：$Z\sim t(2)$ **解析**：步骤1：$\displaystyle Y_1\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{6})$，$\displaystyle Y_2\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{3})$，$\displaystyle Y_1-Y_2\sim N(0,\frac{\sigma^2}{2})$，故$\displaystyle \frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)}{\sigma}\sim N(0,1)$。 步骤2：$\displaystyle S^2=\frac{1}{2}\sum_{i=7}^9(X_i-Y_2)^2$，且$\displaystyle \frac{2S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(2)$。 步骤3：$\displaystyle Z=\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)/\sigma}{\sqrt{S^2/\sigma^2}}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(2)/2}}\sim t(2)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：确定Y1和Y2的分布
由于$X_1,\ldots,X_9$独立同分布于$N(\mu,\sigma^2)$，则$Y_1=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 X_i \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{6})$，$Y_2=\frac{1}{3}\sum_{i=7}^9 X_i \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{3})$。
公式：$$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$
提示：注意样本均值方差是总体方差除以样本量
目标：计算Y1-Y2的分布
由独立性，$Y_1-Y_2 \sim N(0,\frac{\sigma^2}{6}+\frac{\sigma^2}{3})=N(0,\frac{\sigma^2}{2})$，所以$\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)}{\sigma} \sim N(0,1)$。
公式：$$Y_1-Y_2 \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{6}+\frac{\sigma^2}{3}\right)=N\left(0, \frac{\sigma^2}{2}\right)$$
提示：注意方差相加时系数平方
目标：确定S^2的分布
由正态总体样本方差的性质，$\frac{2S^2}{\sigma^2}=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=7}^9 (X_i-Y_2)^2 \sim \chi^2(2)$，因为样本容量为3，自由度$n-1=2$。
公式：$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$$
提示：注意样本容量为3，自由度是2
目标：构造t统计量
由于$Y_1-Y_2$与$S^2$独立（$Y_1$与$Y_2$独立，$S^2$仅依赖于$X_7,X_8,X_9$，与$Y_1$独立），则$Z=\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)/\sigma}{\sqrt{S^2/\sigma^2}}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(2)/2}} \sim t(2)$。
公式：$$Z=\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)/\sigma}{\sqrt{S^2/\sigma^2}}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(2)/2}} \sim t(2)$$
提示：注意自由度为2，分母为卡方除以自由度
目标：得出结论
因此，统计量$Z$服从自由度为2的t分布，即$Z \sim t(2)$。
公式：$$Z = \frac{\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}X_i - \frac{1}{3}\sum_{i=7}^{9}X_i}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{6}(X_i-\bar{X}_1)^2 + \sum_{i=7}^{9}(X_i-\bar{X}_2)^2\right)}} \sim t(2)$$
提示：注意分母自由度为2，分子分母独立