kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第326题
📝 题目
### 第326题
设总体 $X \sim U(a, b), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本，求未知参数 $a$ 和 $b$ 的矩估计量．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \hat{a}=\bar{X}-\sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}$，$\displaystyle \hat{b}=\bar{X}+\sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}$ **解析**：步骤1：总体$X\sim U(a,b)$，$\displaystyle E(X)=\frac{a+b}{2}$，$\displaystyle D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$。 步骤2：令$\displaystyle \frac{a+b}{2}=\bar{X}$，$\displaystyle \frac{(b-a)^2}{12}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$，解得$\displaystyle a=\bar{X}-\sqrt{3\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}$，$\displaystyle b=\bar{X}+\sqrt{3\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出总体矩
总体 $X \sim U(a, b)$，其一阶原点矩和二阶中心矩分别为：
$$E(X) = \frac{a+b}{2}, \quad D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}.$$
公式：$$E(X) = \frac{a+b}{2}, \quad D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}.$$
提示：注意区分原点矩和中心矩
步骤 2/5
目标：建立矩估计方程
用样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 估计总体均值 $E(X)$，用样本方差 $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ 估计总体方差 $D(X)$，得到方程组：
$$\begin{cases}
\frac{a+b}{2} = \bar{X}, \\
\frac{(b-a)^2}{12} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2.
\end{cases}$$
公式：$$\begin{cases} \frac{a+b}{2} = \bar{X}, \\ \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2. \end{cases}$$
提示：注意样本方差用n而非n-1分母
步骤 3/5
目标：解方程组求参数
由第一个方程得 $b = 2\bar{X} - a$，代入第二个方程：
$$\frac{(2\bar{X} - a - a)^2}{12} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2,$$
即 $\frac{(2\bar{X} - 2a)^2}{12} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$，
化简得 $\frac{4(\bar{X} - a)^2}{12} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$，
所以 $(\bar{X} - a)^2 = 3 \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。
公式：$$(\bar{X} - a)^2 = 3 \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$$
提示：注意代入后化简平方项时系数处理
步骤 4/5
目标：求解 a 和 b
开方得 $\bar{X} - a = \pm \sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}$，由于 $a < b$，取负号：
$$a = \bar{X} - \sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}.$$
再由 $b = 2\bar{X} - a$ 得：
$$b = \bar{X} + \sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}.$$
公式：$$a = \bar{X} - \sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}, \quad b = \bar{X} + \sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}$$
提示：注意a
步骤 5/5
目标：给出矩估计量
因此，参数 $a$ 和 $b$ 的矩估计量分别为：
$$\hat{a} = \bar{X} - \sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}, \quad \hat{b} = \bar{X} + \sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}.$$
公式：$$\hat{a} = \bar{X} - \sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}, \quad \hat{b} = \bar{X} + \sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}$$
提示：注意矩估计中方差用样本方差替换
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