kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第327题
📝 题目
### 第327题
设总体 $X$ 的概率密度为
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} $\displaystyle \frac{6 x}{\theta^{3}}(\theta-x), & 0 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本，试求 （1）$\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta} ;$（2）$\hat{\theta}$ 的方差 $D(\hat{\theta})$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\hat{\theta}=2\bar{X}$；（2）$\displaystyle D(\hat{\theta})=\frac{\theta^2}{5n}$ **解析**：步骤1：$\displaystyle E(X)=\int_0^\theta x\cdot\frac{6x}{\theta^3}(\theta-x)\mathrm{d}x=\frac{6}{\theta^3}\int_0^\theta(\theta x^2-x^3)\mathrm{d}x=\frac{6}{\theta^3}\left(\frac{\theta^4}{3}-\frac{\theta^4}{4}\right)=\frac{\theta}{2}$，令$\displaystyle \frac{\theta}{2}=\bar{X}$，得$\hat{\theta}=2\bar{X}$。 步骤2：$\displaystyle D(\hat{\theta})=4D(\bar{X})=\frac{4}{n}D(X)$，$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，$\displaystyle E(X^2)=\int_0^\theta x^2\cdot\frac{6x}{\theta^3}(\theta-x)\mathrm{d}x=\frac{6}{\theta^3}\int_0^\theta(\theta x^3-x^4)\mathrm{d}x=\frac{6}{\theta^3}\left(\frac{\theta^5}{4}-\frac{\theta^5}{5}\right)=\frac{3\theta^2}{10}$，故$\displaystyle D(X)=\frac{3\theta^2}{10}-\frac{\theta^2}{4}=\frac{\theta^2}{20}$，$\displaystyle D(\hat{\theta})=\frac{4}{n}\cdot\frac{\theta^2}{20}=\frac{\theta^2}{5n}$。 **难度**：★★★☆☆