kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第328题
📝 题目
### 第328题
设总体 $X$ 的概率密度为
$$ f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc} $\displaystyle \frac{1}{1-\theta}, & \theta \leqslant x \leqslant 1, \\$ 0, & \text { 其他 }, $\end{array}\right.$ $$
其中 $\theta$ 为末知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本，求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量． 建议茶题时间 10 min
💡 答案解析
**答案**：矩估计量 $\displaystyle \hat{\theta}=1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$；最大似然估计量 $\hat{\theta}=X_{(1)}$ **解析**：步骤1：计算总体期望 $\displaystyle E(X)=\int_{\theta}^{1}x\cdot\frac{1}{1-\theta}dx=\frac{1+\theta}{2}$，令 $\displaystyle \frac{1+\theta}{2}=\bar{X}$，解得矩估计量 $\displaystyle \hat{\theta}=2\bar{X}-1=1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$。 步骤2：似然函数 $\displaystyle L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)=\frac{1}{(1-\theta)^n}$，其中 $\theta \le x_i \le 1$，即 $\theta \le \min\{x_1,\cdots,x_n\}=x_{(1)}$。为使 $L(\theta)$ 最大，$\theta$ 应取最大值，故最大似然估计量 $\hat{\theta}=X_{(1)}$。 **难度**：★★☆☆☆