kaoyan1advanced 概率论与数理统计第329题

教材习题

📝 题目

### 第329题

设随机变量 $X$ 在数集 $\{0,1,2, \cdots, N\}$ 上等可能分布，求 $N$ 的最大似然估计量．

| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\theta^{2}$ | $2 \theta(1-\theta)$ | $\theta^{2}$ | $1-2 \theta$ |, 其中 $\displaystyle \theta\left(0<\theta<\frac{1}{2}\right)$ 是末知

参数，利用总体 $X$ 的样本值 $3,1,3,0,3,1,2,3$ ，求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值．

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总策划：杨沽障

💡 答案解析

**答案**：$\hat{N}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ **解析**：步骤1：总体分布为 $\displaystyle P(X=i)=\frac{1}{N+1}, i=0,1,\cdots,N$。似然函数 $\displaystyle L(N)=\frac{1}{(N+1)^n}$，其中 $0\le x_i \le N$，即 $N \ge \max\{x_1,\cdots,x_n\}$。步骤2：$L(N)$ 是 $N$ 的减函数，为使 $L(N)$ 最大，$N$ 应取最小值，故最大似然估计量 $\hat{N}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5

目标：写出总体分布

由题意，随机变量 $X$ 在数集 $\{0,1,2,\cdots,N\}$ 上等可能分布，因此概率分布为： $$P(X=i)=\frac{1}{N+1},\quad i=0,1,\cdots,N.$$

公式：$$P(X=i)=\frac{1}{N+1},\quad i=0,1,\cdots,N.$$

提示：注意总体分布中参数N+1的分母

步骤 2/5

目标：构造似然函数

设样本观测值为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，则似然函数为： $$L(N)=\prod_{i=1}^{n}P(X=x_i)=\left(\frac{1}{N+1}\right)^n,$$ 其中要求 $0\le x_i \le N$ 对所有 $i$ 成立，即 $N\ge \max\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$。

公式：$$L(N)=\left(\frac{1}{N+1}\right)^n, \quad N\ge \max\{x_1,\dots,x_n\}$$

提示：注意N必须不小于所有样本最大值

步骤 3/5

目标：分析似然函数的单调性

由于 $L(N)=\frac{1}{(N+1)^n}$，当 $N$ 增大时，分母增大，$L(N)$ 减小，因此 $L(N)$ 是 $N$ 的严格减函数。

公式：$$L(N)=\frac{1}{(N+1)^n}$$

提示：注意N是整数且不小于样本最大值

步骤 4/5

目标：确定最大似然估计

为使 $L(N)$ 达到最大，$N$ 应取满足约束条件的最小可能值。约束条件为 $N\ge \max\{x_1,\cdots,x_n\}$，故最小值为 $\max\{x_1,\cdots,x_n\}$。因此，$N$ 的最大似然估计量为： $$\hat{N}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}.$$

公式：$$\hat{N}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$$

提示：注意N必须大于等于所有样本值

步骤 5/5

目标：给出最终答案

最大似然估计量为 $\hat{N}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$。

公式：$$\hat{N}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$$

提示：注意似然函数单调性，最大值在样本最大值处取得

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