kaoyan1advanced 线性代数 第183题
📝 题目
### 第183题
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ，则 $\displaystyle \left|\left(\frac{1}{3} \boldsymbol{B}\right)^{-1}-2 \boldsymbol{B}^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ .
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{27}{8}$ **解析**：步骤1：由 $BA=B+2E$ 得 $B(A-E)=2E$，故 $B=2(A-E)^{-1}$。 步骤2：$A-E=\begin{bmatrix}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$，计算 $|A-E|=\begin{vmatrix}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}=0\cdot\begin{vmatrix}0 & 3 \\ 1 & 1\end{vmatrix}-(-2)\cdot\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{vmatrix}+0\cdot\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix}=2\cdot(2\cdot1-3\cdot0)=4$。 步骤3：$B=2(A-E)^{-1}$，则 $\displaystyle (\frac{1}{3}B)^{-1}=3B^{-1}=3\cdot\frac{1}{2}(A-E)=\frac{3}{2}(A-E)$，$B^*=|B|B^{-1}$，$|B|=2^3|A-E|^{-1}=8/4=2$，故 $\displaystyle B^*=2B^{-1}=2\cdot\frac{1}{2}(A-E)=A-E$。 步骤4：原式 $\displaystyle =|\frac{3}{2}(A-E)-2(A-E)|=|-\frac{1}{2}(A-E)|=(-\frac{1}{2})^3|A-E|=-\frac{1}{8}\times4=-\frac{1}{2}$。 （重新计算：$|A-E|=4$，$B=2(A-E)^{-1}$，$\displaystyle (\frac{1}{3}B)^{-1}=3B^{-1}=3\cdot\frac{1}{2}(A-E)=\frac{3}{2}(A-E)$，$|B|=2^3/|A-E|=8/4=2$，$\displaystyle B^*=|B|B^{-1}=2\cdot\frac{1}{2}(A-E)=A-E$，则原式 $\displaystyle =|\frac{3}{2}(A-E)-2(A-E)|=|-\frac{1}{2}(A-E)|=(-\frac{1}{2})^3|A-E|=-\frac{1}{8}\times4=-\frac{1}{2}$） **答案应为**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：由 $BA=B+2E$ 得 $B(A-E)=2E$，故 $B=2(A-E)^{-1}$。 步骤2：$|A-E|=\begin{vmatrix}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}=4$。 步骤3：$\displaystyle (\frac{1}{3}B)^{-1}=3B^{-1}=3\cdot\frac{1}{2}(A-E)=\frac{3}{2}(A-E)$，$\displaystyle B^*=|B|B^{-1}=2\cdot\frac{1}{2}(A-E)=A-E$。 步骤4：原式 $\displaystyle =|\frac{3}{2}(A-E)-2(A-E)|=|-\frac{1}{2}(A-E)|=(-\frac{1}{2})^3\times4=-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆