kaoyan1advanced 线性代数 第184题
📝 题目
### 第184题
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $1,2,-1$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{3}+2 \boldsymbol{A}^{2}$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$144$ **解析**：步骤1：$|A|=1\times2\times(-1)=-2$，$A^*=|A|A^{-1}=-2A^{-1}$。 步骤2：$B$ 的特征值为 $\lambda^3+2\lambda^2$，对应 $1,2,-1$ 得 $1^3+2\cdot1^2=3$，$2^3+2\cdot2^2=16$，$(-1)^3+2\cdot(-1)^2=1$，故 $|B|=3\times16\times1=48$。 步骤3：$|A^*B^T|=|A^*|\cdot|B^T|=|A^*|\cdot|B|$，$|A^*|=|A|^{3-1}=(-2)^2=4$，故原式 $=4\times48=192$。 （更正：$|A^*|=|A|^{n-1}=(-2)^2=4$，$|B|=48$，乘积为 $192$） **答案应为**：$192$ **解析**：步骤1：$|A|=1\times2\times(-1)=-2$，$|A^*|=|A|^{3-1}=4$。 步骤2：$B$ 的特征值为 $\lambda^3+2\lambda^2$，得 $3,16,1$，$|B|=3\times16\times1=48$。 步骤3：$|A^*B^T|=|A^*|\cdot|B|=4\times48=192$。 **难度**：★★☆☆☆