kaoyan1advanced 线性代数 第185题
📝 题目
### 第185题
计算 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]^{9}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{10}=$ $\_\_\_\_$ ．
熟䋘
💡 答案解析
**答案**：$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 14 & 16 & 18 \\ 28 & 32 & 36\end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}^9$，该矩阵为置换矩阵，奇数次幂为自身，故等于 $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$。 步骤2：$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{10}=\begin{bmatrix}1^{10} & 0 & 0 \\ 0 & 2^{10} & 0 \\ 0 & 0 & 1^{10}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1024 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$。 步骤3：原式 $=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1024 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$，先左乘得 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}$，再右乘得 $\begin{bmatrix}1 & 2\times1024 & 3 \\ 7 & 8\times1024 & 9 \\ 4 & 5\times1024 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2048 & 3 \\ 7 & 8192 & 9 \\ 4 & 5120 & 6\end{bmatrix}$。 （注意：题目中矩阵乘法顺序，最终结果应为 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 14 & 16 & 18 \\ 28 & 32 & 36\end{bmatrix}$ 需重新计算） **重新计算**：左乘 $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$ 交换后两行，得 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}$；右乘 $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{10} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ 将第二列乘以 $1024$，得 $\begin{bmatrix}1 & 2\times1024 & 3 \\ 7 & 8\times1024 & 9 \\ 4 & 5\times1024 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2048 & 3 \\ 7 & 8192 & 9 \\ 4 & 5120 & 6\end{bmatrix}$。 **答案应为**：$\begin{bmatrix}1 & 2048 & 3 \\ 7 & 8192 & 9 \\ 4 & 5120 & 6\end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}^9=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$。 步骤2：$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{10}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1024 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$。 步骤3：原式 $=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1024 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2048 & 3 \\ 7 & 8192 & 9 \\ 4 & 5120 & 6\end{bmatrix}$。 **难度**：★★☆☆☆