kaoyan1advanced 线性代数 第187题
📝 题目
### 第187题
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right]$ ，若矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{X}$ ，则 $\boldsymbol{X}^{4}=$ $\_\_\_\_$ ．
辣估
💡 答案解析
**答案**：$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 16\end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：由 $XA+2B=AB+2X$ 得 $XA-2X=AB-2B$，即 $X(A-2E)=B(A-2E)$。 步骤2：$A-2E=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$，可逆，故 $X=B$。 步骤3：$X=B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{bmatrix}$，则 $X^4=\begin{bmatrix}1^4 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^4 & 0 \\ 0 & 0 & (-2)^4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 16\end{bmatrix}$。 **难度**：★★☆☆☆