kaoyan1advanced 线性代数 第188题

**答案**：$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ 或零矩阵（需具体化） **解析**：步骤1：$BA=O$，且 $B$ 非零，则 $A$ 不可逆，即 $|A|=0$。 步骤2：$|A|=\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & a \\ 2 & a & 0\end{vmatrix}=1\cdot(2\cdot0-a\cdot a)-2\cdot(0\cdot0-a\cdot2)+1\cdot(0\cdot a-2\cdot2)=-a^2+4a-4=-(a-2)^2=0$，得 $a=2$。 步骤3：$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 0\end{bmatrix}$，解 $B$ 的行向量为 $A^T$ 的左零空间，即 $A^T$ 的零空间。$A^T=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{bmatrix}$，秩为 $2$，基础解系为 $\xi=(-2,1,1)^T$，故 $B$ 的行向量为 $k\xi^T$，$B$ 为 $3\times3$ 矩阵，可写为 $B=\begin{bmatrix}-2k & k & k \\ -2l & l & l \\ -2m & m & m\end{bmatrix}$，但题目要求具体形式，通常取 $B=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ 等。 **答案应为**：$\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$（不唯一） **解析**：步骤1：由 $BA=O$ 且 $B\neq O$，得 $|A|=0$，解得 $a=2$。 步骤2：$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 0\end{bmatrix}$，$A^T$ 的零空间维数为 $1$，基础解系为 $(-2,1,1)^T$。 步骤3：$B$ 的行向量均为该向量的倍数，取 $B=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。 **难度**：★★☆☆☆