kaoyan1advanced 线性代数 第189题
📝 题目
### 第189题
(2002,4)$ 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, 0, b)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0, a, c)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(c, b, 0)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a$ ， $b, c$ 必满足 $\_\_\_\_$ ．$
💡 答案解析
**答案**：$abc=0$ 或 $a,b,c$ 至少一个为 $0$ **解析**：步骤1：向量组线性相关，则行列式 $|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=0$。 步骤2：$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=\begin{vmatrix}a & 0 & c \\ 0 & a & b \\ b & c & 0\end{vmatrix}=a\cdot(a\cdot0-b\cdot c)-0+ c\cdot(0\cdot c-a\cdot b)=-abc-abc=-2abc=0$，故 $abc=0$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用线性相关的行列式条件
向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，则它们构成的矩阵的行列式为零，即 $|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3| = 0$。
公式：$$|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3| = 0$$
提示：行列式为零是线性相关的充要条件
步骤 2/4
目标：构造并计算行列式
构造行列式 $\begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 0 & a & b \\ b & c & 0 \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$$\begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 0 & a & b \\ b & c & 0 \end{vmatrix} = a \cdot \begin{vmatrix} a & b \\ c & 0 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{vmatrix} + c \cdot \begin{vmatrix} 0 & a \\ b & c \end{vmatrix} = a(a \cdot 0 - b \cdot c) + c(0 \cdot c - a \cdot b) = -abc - abc = -2abc.$$
公式：$$\begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 0 & a & b \\ b & c & 0 \end{vmatrix} = a \cdot \begin{vmatrix} a & b \\ c & 0 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{vmatrix} + c \cdot \begin{vmatrix} 0 & a \\ b & c \end{vmatrix} = -2abc$$
提示：注意行列式展开时符号与零项处理
步骤 3/4
目标：令行列式为零
由线性相关条件得 $-2abc = 0$，即 $abc = 0$。
公式：$$\det(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = 0$$
提示：行列式为零是线性相关的充要条件
步骤 4/4
目标：得出参数关系
因此 $a, b, c$ 中至少有一个为零，即 $abc = 0$。
提示：注意“至少有一个为零”等价于乘积为零
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