💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{3}$ **解析**：步骤1：由 $2\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3=0$ 得 $\alpha_2=2\alpha_1+3\alpha_3$。 步骤2：三个向量 $\beta+\alpha_1,\beta+\alpha_2,a\beta+\alpha_3$ 线性相关，则存在不全为零的 $k_1,k_2,k_3$ 使 $k_1(\beta+\alpha_1)+k_2(\beta+\alpha_2)+k_3(a\beta+\alpha_3)=0$，即 $(k_1+k_2+ak_3)\beta+(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3)=0$。 步骤3：代入 $\alpha_2$，得 $k_1\alpha_1+k_2(2\alpha_1+3\alpha_3)+k_3\alpha_3=(k_1+2k_2)\alpha_1+(3k_2+k_3)\alpha_3$。由于 $\beta$ 任意，需 $\beta$ 系数和 $\alpha_1,\alpha_3$ 系数均为 $0$，即 $k_1+k_2+ak_3=0$，$k_1+2k_2=0$，$3k_2+k_3=0$。 步骤4：由后两式得 $k_1=-2k_2$，$k_3=-3k_2$，代入第一式得 $-2k_2+k_2+a(-3k_2)=0$，即 $(-1-3a)k_2=0$，$k_2\neq0$，故 $-1-3a=0$，$\displaystyle a=-\frac{1}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：由线性关系表示α₂
由 $2\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}$ 得 $\boldsymbol{\alpha}_{2}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}$。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_{2}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}$$
提示：移项时注意符号变化
目标：设线性相关条件
三个向量 $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2},a\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则存在不全为零的 $k_1,k_2,k_3$ 使 $k_1(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_2(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2})+k_3(a\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{3})=\mathbf{0}$，即 $(k_1+k_2+ak_3)\boldsymbol{\beta}+(k_1\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_2\boldsymbol{\alpha}_{2}+k_3\boldsymbol{\alpha}_{3})=\mathbf{0}$。
公式：$$k_1(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_2(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2})+k_3(a\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{3})=\mathbf{0}$$
提示：注意系数合并时不要遗漏a
目标：代入α₂并合并同类项
代入 $\boldsymbol{\alpha}_{2}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}$，得 $k_1\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_2(2\boldsymbol{\alpha}_{1}+3\boldsymbol{\alpha}_{3})+k_3\boldsymbol{\alpha}_{3}=(k_1+2k_2)\boldsymbol{\alpha}_{1}+(3k_2+k_3)\boldsymbol{\alpha}_{3}$。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_{2}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}$$
提示：注意合并系数时符号和顺序
目标：利用β的任意性建立方程组
由于 $\boldsymbol{\beta}$ 任意，需 $\boldsymbol{\beta}$ 系数和 $\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 系数均为 $0$，即 $\begin{cases} k_1+k_2+ak_3=0 \\ k_1+2k_2=0 \\ 3k_2+k_3=0 \end{cases}$。
公式：$$\begin{cases} k_1+k_2+ak_3=0 \\ k_1+2k_2=0 \\ 3k_2+k_3=0 \end{cases}$$
提示：注意β任意性导致系数全为零
目标：解方程组求a
由后两式得 $k_1=-2k_2$，$k_3=-3k_2$，代入第一式得 $-2k_2+k_2+a(-3k_2)=0$，即 $(-1-3a)k_2=0$。由于 $k_1,k_2,k_3$ 不全为零，可取 $k_2\neq0$，故 $-1-3a=0$，解得 $a=-\frac{1}{3}$。
公式：$$-2k_2+k_2+a(-3k_2)=0$$
提示：注意k2非零条件
目标：答案
$a=-\dfrac{1}{3}$
公式：$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$$
提示：注意n>2时向量组线性无关的条件