kaoyan1advanced 线性代数 第191题

**答案**：$4$ **解析**：步骤1：$\alpha_1,\alpha_2$ 是极大无关组，则 $\alpha_3,\alpha_4$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，且 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关。 步骤2：$\alpha_1=(1,1,-1)^T$，$\alpha_2=(2,4,t-6)^T$，$\alpha_3=(2,6,6)^T$，$\alpha_4=(t,14,t-4)^T$。设 $\alpha_3=x\alpha_1+y\alpha_2$，得方程组：$1\cdot x+2\cdot y=2$，$1\cdot x+4\cdot y=6$，$-1\cdot x+(t-6)\cdot y=6$。 步骤3：前两式解得 $x=-2,y=2$，代入第三式得 $-(-2)+(t-6)\cdot2=6$，即 $2+2t-12=6$，$2t=16$，$t=8$。 步骤4：检验 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 表示，设 $\alpha_4=u\alpha_1+v\alpha_2$，得 $u+2v=t=8$，$u+4v=14$，$-u+(t-6)v=t-4$。前两式解得 $u=4,v=2$，代入第三式得 $-4+(8-6)\times2=-4+4=0$，而 $t-4=4$，矛盾。故 $t=8$ 不成立。 （重新计算：由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，秩为 $2$，则 $\alpha_3,\alpha_4$ 应线性相关于 $\alpha_1,\alpha_2$。计算矩阵 $[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4]$ 的秩为 $2$，通过初等变换求 $t$。） **正确解法**：步骤1：构造矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 2 & t \\ 1 & 4 & 6 & 14 \\ -1 & t-6 & 6 & t-4\end{bmatrix}$，行变换。 步骤2：第一行乘 $-1$ 加第二行，乘 $1$ 加第三行得 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 2 & t \\ 0 & 2 & 4 & 14-t \\ 0 & t-4 & 8 & 2t-4\end{bmatrix}$。 步骤3：第二行乘 $\displaystyle -\frac{t-4}{2}$ 加第三行得 $\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2 & 2 & t \\ 0 & 2 & 4 & 14-t \\ 0 & 0 & 8-2(t-4) & 2t-4-\frac{(t-4)(14-t)}{2}\end{bmatrix}$。 步骤4：秩为 $2$，则第三行全零，即 $8-2(t-4)=0$ 且 $\displaystyle 2t-4-\frac{(t-4)(14-t)}{2}=0$。由 $8-2t+8=0$ 得 $t=8$，代入第二式得 $\displaystyle 16-4-\frac{4\times6}{2}=12-12=0$，成立。故 $t=8$。 **答案应为**：$8$ **解析**：步骤1：$\alpha_1,\alpha_2$ 为极大无关组，则向量组秩为 $2$。 步骤2：对矩阵 $[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4]$ 行变换，得 $t=8$。 **难度**：★★★☆☆