💡 答案解析
**答案**：$k_1(0,-1,1,0)^T+k_2(-1,0,0,1)^T$，$k_1,k_2$ 为任意常数 **解析**：步骤1：$A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$，秩为 $2$，$A^n$ 的秩也为 $2$。 步骤2：$A^2=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 2\end{bmatrix}=2A$，故 $A^n=2^{n-1}A$（$n\ge1$）。 步骤3：$A^n x=0$ 即 $A x=0$，解 $A x=0$ 得基础解系为 $(0,-1,1,0)^T$ 和 $(-1,0,0,1)^T$。 步骤4：通解为 $k_1(0,-1,1,0)^T+k_2(-1,0,0,1)^T$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
目标：分析矩阵秩
矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$，观察可知第2行与第3行相同，第1行与第4行相同，且第1行与第2行线性无关，故 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})=2$。由于 $\boldsymbol{A}^n$ 与 $\boldsymbol{A}$ 同秩，$\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}^n)=2$。
提示：注意行向量线性无关的判断
目标：计算 $\boldsymbol{A}^2$ 并归纳 $\boldsymbol{A}^n$
计算 $\boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 2\end{bmatrix} = 2\boldsymbol{A}$。由数学归纳法可得 $\boldsymbol{A}^n = 2^{n-1}\boldsymbol{A} \quad (n \geq 1)$。
公式：$$\boldsymbol{A}^2 = 2\boldsymbol{A}, \quad \boldsymbol{A}^n = 2^{n-1}\boldsymbol{A} \ (n \geq 1)$$
提示：注意矩阵乘法结果化简为倍数关系
目标：化简方程 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$
由 $\boldsymbol{A}^n = 2^{n-1}\boldsymbol{A}$，代入方程得 $2^{n-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \mathbf{0}$。由于 $2^{n-1} \neq 0$，方程等价于 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \mathbf{0}$。
公式：$$\boldsymbol{A}^n = 2^{n-1}\boldsymbol{A}$$
提示：注意系数非零可约去
目标：求解齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \mathbf{0}$
解 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \mathbf{0}$，即 $\begin{cases} x_1 + x_4 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + x_4 = 0 \end{cases}$，得 $x_1 = -x_4, \; x_2 = -x_3$。令自由变量 $x_3 = 1, x_4 = 0$ 得 $\boldsymbol{\xi}_1 = (0, -1, 1, 0)^\mathrm{T}$；令 $x_3 = 0, x_4 = 1$ 得 $\boldsymbol{\xi}_2 = (-1, 0, 0, 1)^\mathrm{T}$。
公式：$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \mathbf{0}$$
提示：注意自由变量的选取不唯一
目标：写出通解
通解为 $\boldsymbol{x} = k_1 \boldsymbol{\xi}_1 + k_2 \boldsymbol{\xi}_2 = k_1 \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数。
公式：$$\boldsymbol{x} = k_1 \boldsymbol{\xi}_1 + k_2 \boldsymbol{\xi}_2$$
提示：注意基础解系线性无关