💡 答案解析
**答案**：$k(1,1,1,1)^T$，$k$ 为任意常数 **解析**：步骤1：$A=\begin{bmatrix}a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a\end{bmatrix}$，$\alpha$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，则 $|A|=0$ 且 $A$ 的秩为 $3$。 步骤2：$|A|=(a+3)(a-1)^3=0$，得 $a=1$ 或 $a=-3$。若 $a=1$，$A$ 的秩为 $1$，基础解系维数为 $3$，与 $\alpha$ 是基础解系（维数 $1$）矛盾，故 $a=-3$。 步骤3：$a=-3$ 时，$A$ 的秩为 $3$，$A^*$ 的秩为 $1$，$A^*x=0$ 的基础解系维数为 $3$。 步骤4：由 $A^*=|A|A^{-1}$，$|A|=0$，故 $A^*$ 的列向量均为 $Ax=0$ 的解，$Ax=0$ 的基础解系为 $(1,1,1,1)^T$，则 $A^*$ 的每一列都是 $(1,1,1,1)^T$ 的倍数，故 $A^*x=0$ 的通解为 $k(1,1,1,1)^T$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：分析条件，确定矩阵A的秩
已知 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间维数为1，故 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})=3$，且 $|\boldsymbol{A}|=0$。
提示：基础解系维数等于n减秩
目标：计算行列式，求解参数a
计算 $\boldsymbol{A}$ 的行列式：
$$
|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix}
a & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & 1 & 1 \\
1 & 1 & a & 1 \\
1 & 1 & 1 & a
\end{vmatrix} = (a+3)(a-1)^3 = 0.
$$
解得 $a=1$ 或 $a=-3$。
公式：$$|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a+3)(a-1)^3 = 0$$
提示：注意行列式分解时符号和系数
目标：排除a=1的情况，确定a的值
若 $a=1$，则 $\boldsymbol{A}$ 的所有元素均为1，$\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})=1$，基础解系维数为3，与已知矛盾。故 $a=-3$。
提示：注意a=1时秩为1，基础解系维数为3
目标：确定A*的秩
当 $a=-3$ 时，$\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})=3$，则 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}^*)=1$（因为 $\boldsymbol{A}$ 为4阶方阵，秩为3时，伴随矩阵的秩为1）。因此 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系维数为3。
提示：注意方阵阶数对秩关系的影响
目标：求A* x=0的通解
由 $\boldsymbol{A}^* = |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1}$，且 $|\boldsymbol{A}|=0$，故 $\boldsymbol{A}^*$ 的每一列都是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解。解 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$（$a=-3$）得基础解系为 $(1,1,1,1)^\mathrm{T}$。因此 $\boldsymbol{A}^*$ 的每一列都是 $(1,1,1,1)^\mathrm{T}$ 的倍数，从而 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 $k(1,1,1,1)^\mathrm{T}$，$k$ 为任意常数。
公式：$$\boldsymbol{A}^* = |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1}$$
提示：注意A*每列是Ax=0的解