kaoyan1advanced 线性代数 第194题
📝 题目
### 第194题
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，$\lambda_{1}=1$ 和 $\lambda_{2}=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 2 个特征值，对应的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,4,5)^{\mathrm{T}}$ 。若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$k(1,4,5)^{\mathrm{T}},k\in\mathbb{R}$ **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}$不可逆知$0$是特征值，且实对称矩阵不同特征值特征向量正交，故$\boldsymbol{\alpha}_1$与$\boldsymbol{\alpha}_2$正交，得$(1,a,-1)\cdot(1,4,5)=1+4a-5=0$，解得$a=1$。步骤2：$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的解空间即特征值$0$的特征空间，设特征向量为$(x_1,x_2,x_3)^{\mathrm{T}}$，与$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$均正交，解$\begin{cases}x_1+x_2-x_3=0\\ x_1+4x_2+5x_3=0\end{cases}$，得基础解系$(3,-2,1)^{\mathrm{T}}$，但通解也可由已知特征向量线性表示，注意$\boldsymbol{\alpha}_2$对应特征值$2$，故$0$的特征向量与$\boldsymbol{\alpha}_2$正交，而$\boldsymbol{\alpha}_2$本身不是解，需重新计算。由正交条件得$(1,1,-1)$和$(1,4,5)$，解出基础解系为$(-3,2,1)^{\mathrm{T}}$，故通解为$k(-3,2,1)^{\mathrm{T}}$。但题目中$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的通解即$0$特征值的全部特征向量，因$\boldsymbol{A}$不可逆，$0$是特征值，且实对称矩阵特征向量正交，由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$正交得$a=1$，再求与两者正交的向量，解得$(-3,2,1)^{\mathrm{T}}$，故通解$k(-3,2,1)^{\mathrm{T}}$。 **难度**：★★★☆☆