kaoyan1advanced 线性代数 第196题
📝 题目
### 第196题
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a & 0 & -1 \\ 0 & a & 1 \\ -1 & 1 & a+1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为
💡 答案解析
**答案**：$a,a,a+2$ **解析**：步骤1：求特征多项式$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}\lambda-a & 0 & 1\\0 & \lambda-a & -1\\1 & -1 & \lambda-a-1\end{vmatrix}$。步骤2：按第一行展开，得$(\lambda-a)\begin{vmatrix}\lambda-a & -1\\-1 & \lambda-a-1\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}0 & \lambda-a\\1 & -1\end{vmatrix}=(\lambda-a)[(\lambda-a)(\lambda-a-1)-1]-(\lambda-a)=(\lambda-a)[(\lambda-a)(\lambda-a-1)-2]$。步骤3：令$t=\lambda-a$，则$t(t(t-1)-2)=t(t^2-t-2)=t(t-2)(t+1)$，故特征值$\lambda=a,a+2,a-1$。注意计算得$t=0,2,-1$，即$\lambda=a,a+2,a-1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出特征多项式
计算 $|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda-a & 0 & 1 \\ 0 & \lambda-a & -1 \\ 1 & -1 & \lambda-a-1 \end{vmatrix}$。
公式：$$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$$
提示：注意符号和矩阵元素对应关系
步骤 2/5
目标：按第一行展开行列式
按第一行展开：$(\lambda-a)\begin{vmatrix} \lambda-a & -1 \\ -1 & \lambda-a-1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & \lambda-a \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (\lambda-a)[(\lambda-a)(\lambda-a-1)-1] - (\lambda-a)$。
提示：注意符号和展开项的正负号
步骤 3/5
目标：化简多项式
合并同类项：$(\lambda-a)[(\lambda-a)(\lambda-a-1)-2] = (\lambda-a)[(\lambda-a)^2 - (\lambda-a) - 2]$。
提示：注意将(λ-a)视为整体展开
步骤 4/5
目标：换元并因式分解
令 $t = \lambda - a$，则多项式化为 $t(t^2 - t - 2) = t(t-2)(t+1)$。
公式：$$t(t^2 - t - 2) = t(t-2)(t+1)$$
提示：注意因式分解的准确性
步骤 5/5
目标：回代得特征值
由 $t=0,2,-1$ 得 $\lambda = a, a+2, a-1$。
提示：注意t与λ的对应关系
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