💡 答案解析
**答案**：$3,2,1$ **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=6\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$，右乘$\boldsymbol{A}^{-1}$得$\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}=6\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}$，即$\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}=6\boldsymbol{E}$，左乘$\boldsymbol{A}$得$\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=6\boldsymbol{A}$，即$(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}=6\boldsymbol{A}$，故$\boldsymbol{B}=6(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{A}$。步骤2：$\boldsymbol{A}$特征值为$\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$，则$\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$特征值为$\displaystyle \frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4}$，$(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}$特征值为$\displaystyle 2,\frac{3}{2},\frac{4}{3}$，故$\boldsymbol{B}$特征值为$\displaystyle 6\times2\times\frac{1}{2}=6$，$\displaystyle 6\times\frac{3}{2}\times\frac{1}{3}=3$，$\displaystyle 6\times\frac{4}{3}\times\frac{1}{4}=2$，即$6,3,2$。注意原题答案应为$6,3,2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：化简矩阵方程
已知 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$，右乘 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 得 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}=6 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}$，即 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}=6 \boldsymbol{E}$。左乘 $\boldsymbol{A}$ 得 $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=6 \boldsymbol{A}$，即 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{B}=6 \boldsymbol{A}$。
公式：$$\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$$
提示：注意矩阵乘法顺序，右乘与左乘不可交换
目标：解出矩阵B的表达式
由 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{B}=6 \boldsymbol{A}$，且 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆（因为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值均不为1），左乘 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}$ 得 $\boldsymbol{B}=6 (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{A}$。
公式：$$\boldsymbol{B}=6 (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{A}$$
提示：注意E-A可逆的条件
目标：求A的特征值对应的变换
设 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda$，对应的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}$，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi} = \lambda \boldsymbol{\xi}$。由 $\boldsymbol{B}=6 (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{A}$，计算 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi} = 6 (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi} = 6 (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1} (\lambda \boldsymbol{\xi}) = 6 \lambda (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{\xi}$。
公式：$$\boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi} = 6 (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi} = 6 \lambda (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{\xi}$$
提示：注意矩阵乘法顺序，先算Aξ再代入
目标：求(E-A)^{-1}对特征向量的作用
由于 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{\xi} = (1-\lambda) \boldsymbol{\xi}$，所以 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{\xi} = \frac{1}{1-\lambda} \boldsymbol{\xi}$。代入得 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi} = 6 \lambda \cdot \frac{1}{1-\lambda} \boldsymbol{\xi} = \frac{6\lambda}{1-\lambda} \boldsymbol{\xi}$。因此 $\boldsymbol{B}$ 的特征值为 $\frac{6\lambda}{1-\lambda}$。
公式：$$(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{\xi} = \frac{1}{1-\lambda} \boldsymbol{\xi}$$
提示：注意特征向量对应特征值的倒数关系
目标：代入A的特征值计算B的特征值
$\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_1=\frac{1}{2}, \lambda_2=\frac{1}{3}, \lambda_3=\frac{1}{4}$。计算 $\boldsymbol{B}$ 的特征值：
- 当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时，$\mu_1 = \frac{6 \times \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$；
- 当 $\lambda=\frac{1}{3}$ 时，$\mu_2 = \frac{6 \times \frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 3$；
- 当 $\lambda=\frac{1}{4}$ 时，$\mu_3 = \frac{6 \times \frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1.5}{\frac{3}{4}} = 2$。
公式：$$\mu = \frac{6\lambda}{1-\lambda}$$
提示：代入特征值时注意分数运算
目标：给出最终答案
因此矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值为 $6, 3, 2$。
提示：注意特征值的对应关系