kaoyan1advanced 线性代数 第199题

教材习题

📝 题目

### 第199题

\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是三个线性无关的三维列向量，其中 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有解 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}$ 有解 $\boldsymbol{\beta}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ $\_\_\_\_$ ．$

💡 答案解析

**答案**：$\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：由条件$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}$。步骤2：在基$\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$下，$\boldsymbol{A}$的矩阵为$\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}$，故$\boldsymbol{A}$相似于此矩阵。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：提取已知条件
由题意，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}$。
公式：$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}, \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}$$
提示：注意线性无关条件的应用
步骤 2/5
目标：构造基下的矩阵表示
由于$\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$线性无关，可作为三维空间的一组基。将$\boldsymbol{A}$在这组基下的作用写出： $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}=0\cdot\boldsymbol{\xi}+0\cdot\boldsymbol{\alpha}+0\cdot\boldsymbol{\beta}$， $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=0\cdot\boldsymbol{\xi}+0\cdot\boldsymbol{\alpha}+1\cdot\boldsymbol{\beta}$， $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}=0\cdot\boldsymbol{\xi}+1\cdot\boldsymbol{\alpha}+0\cdot\boldsymbol{\beta}$。
提示：注意基向量顺序与矩阵列对应
步骤 3/5
目标：写出矩阵形式
因此，$\boldsymbol{A}$在基$\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$下的矩阵为： $$\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}$$
公式：$$\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}$$
提示：注意基向量的顺序对应矩阵列
步骤 4/5
目标：判断相似关系
由于$\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$是一组基，$\boldsymbol{A}$在该基下的矩阵与$\boldsymbol{A}$本身相似，即$\boldsymbol{A}\sim\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}$。
提示：注意基变换下矩阵相似的条件
步骤 5/5
目标：得出答案
故$\boldsymbol{A}$相似于矩阵$\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}$。
提示：注意相似变换的矩阵形式

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