kaoyan1advanced 线性代数 第200题
📝 题目
### 第200题
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{E}$ ，如果秩 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=2$ ，则和 $\boldsymbol{A}$ 相似的对角矩阵是 $\_\_\_\_$ ． 建议荅题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$\begin{bmatrix}3&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}^2-2\boldsymbol{A}=3\boldsymbol{E}$得$(\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=\boldsymbol{O}$，故$\boldsymbol{A}$的特征值满足$(\lambda-3)(\lambda+1)=0$，即$\lambda=3$或$\lambda=-1$。步骤2：$r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=2$，则$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$解空间维数为$1$，即特征值$-1$的几何重数为$1$，故代数重数为$1$，则特征值$3$的代数重数为$2$。步骤3：实对称矩阵可对角化，故相似于$\text{diag}(3,3,-1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：步骤1：由矩阵方程推导特征值条件
由 $\boldsymbol{A}^{2}-2\boldsymbol{A}=3\boldsymbol{E}$ 得 $\boldsymbol{A}^{2}-2\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$，即 $(\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=\boldsymbol{O}$。设 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则 $(\lambda-3)(\lambda+1)=0$，故 $\lambda=3$ 或 $\lambda=-1$。
公式：$$(\lambda-3)(\lambda+1)=0$$
提示：注意特征值满足矩阵多项式方程
步骤 2/3
目标：步骤2：利用秩条件确定特征值的代数重数
已知 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=2$，则齐次线性方程组 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解空间维数为 $3-2=1$，即特征值 $-1$ 的几何重数为 $1$。由于实对称矩阵可对角化，几何重数等于代数重数，故 $-1$ 的代数重数为 $1$。因此特征值 $3$ 的代数重数为 $3-1=2$。
提示：几何重数等于代数重数仅对可对角化矩阵成立
步骤 3/3
目标：步骤3：构造相似对角矩阵
实对称矩阵必可对角化，故 $\boldsymbol{A}$ 相似于对角矩阵 $\operatorname{diag}(3,3,-1)$，即 $\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$。
公式：$$\boldsymbol{A} \sim \operatorname{diag}(3,3,-1)$$
提示：注意实对称矩阵必可对角化
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