kaoyan1advanced 线性代数 第201题
📝 题目
### 第201题
已知三元二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}-5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}=(2,1,2)^{\mathrm{T}}$是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，则二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的正惯性指数 $p=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**：步骤1：二次型矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&a&1\\a&-5&b\\1&b&1\end{bmatrix}$，由$\boldsymbol{\alpha}=(2,1,2)^{\mathrm{T}}$是特征向量，设$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$，得$\begin{cases}2+a+2=2\lambda\\2a-5+2b=\lambda\\2+b+2=2\lambda\end{cases}$，解得$a=1,b=2,\lambda=2.5$？计算：第一式$4+a=2\lambda$，第三式$4+b=2\lambda$，故$a=b$；第二式$2a-5+2a=4a-5=\lambda$，代入第一式$4+a=2(4a-5)$得$4+a=8a-10$，$7a=14$，$a=2$，则$\lambda=3$。步骤2：$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&-5&2\\1&2&1\end{bmatrix}$，特征多项式$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=(\lambda-1)(\lambda+5)(\lambda-1)-...$，计算得特征值$0,3,-6$，正惯性指数$p=1$？注意正特征值个数为$1$，但需验证：$\lambda_1=3,\lambda_2=0,\lambda_3=-6$，故$p=1$。原答案有误，重新计算：$\boldsymbol{A}$秩为$2$，迹为$-3$，特征值积为$0$，设特征值为$3,0,-6$，正惯性指数$1$。 **难度**：★★★☆☆