kaoyan1advanced 线性代数 第202题
📝 题目
### 第202题
已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+ y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a<-1$ **解析**：步骤1：二次型矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}a&1&1\\1&a&-1\\1&-1&a\end{bmatrix}$，规范形为$y_1^2+y_2^2-y_3^2$，即正惯性指数$2$，负惯性指数$1$，故$\boldsymbol{A}$的特征值两正一负。步骤2：计算特征多项式$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}\lambda-a&-1&-1\\-1&\lambda-a&1\\-1&1&\lambda-a\end{vmatrix}=(\lambda-a-1)^2(\lambda-a+2)$？令$t=\lambda-a$，则行列式$=(t-1)^2(t+2)$，故特征值$\lambda=a+1$（二重）和$\lambda=a-2$。步骤3：两正一负，则$a+1>0$且$a-2<0$，得$-1
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型矩阵
二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 对应的矩阵为 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a \end{bmatrix}$。
公式：$$x^T A x = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$$
提示：注意交叉项系数要除以2
步骤 2/6
目标：分析规范形与惯性指数
规范形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$，表明正惯性指数为 $2$，负惯性指数为 $1$，因此矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值应为两正一负。
公式：$$\text{规范形}: y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$$
提示：规范形直接决定惯性指数
步骤 3/6
目标：计算特征多项式
计算 $|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix} \lambda-a & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-a & 1 \\ -1 & 1 & \lambda-a \end{vmatrix}$。令 $t=\lambda-a$，则行列式化为 $\begin{vmatrix} t & -1 & -1 \\ -1 & t & 1 \\ -1 & 1 & t \end{vmatrix}$。通过行变换或直接展开可得 $|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=(t-1)^2(t+2)$，即 $=(\lambda-a-1)^2(\lambda-a+2)$。
公式：$$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=(t-1)^2(t+2)$$
提示：注意行列式变换时符号和系数
步骤 4/6
目标：确定特征值
由特征多项式得特征值为 $\lambda_1=\lambda_2=a+1$（二重根），$\lambda_3=a-2$。
公式：$$|\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{I}| = 0$$
提示：注意二重根的处理
步骤 5/6
目标：根据正负性求参数范围
要求特征值两正一负，有两种可能：
- 情况1：$a+1>0$ 且 $a-2<0$，解得 $-10$，此时 $a<-1$ 且 $a>2$，无解。
因此 $a$ 的取值范围是 $-1
提示：注意两正一负条件的分类讨论
步骤 6/6
目标：最终答案
故 $a$ 的取值范围为 $\boxed{(-1,2)}$。
提示：注意二次型正定与特征值的关系
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