kaoyan1advanced 线性代数 第203题
📝 题目
### 第203题
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]$ 与二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=3 x_{1}^{2}+a x_{3}^{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a>0$ **解析**：步骤1：$\boldsymbol{A}$的特征值为$3,-3,0$（计算得$\lambda_1=3,\lambda_2=-3,\lambda_3=0$），故正惯性指数$1$，负惯性指数$1$。步骤2：$\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&a\end{bmatrix}$，合同则正负惯性指数相同，故$\boldsymbol{B}$的正惯性指数为$1$，负惯性指数为$1$，则$a<0$时负惯性指数为$2$，$a=0$时秩为$1$，$a>0$时正惯性指数$2$，负惯性指数$0$，均不匹配。需重新分析：$\boldsymbol{A}$合同于$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，故$\boldsymbol{B}$也应有相同规范形，即$a$必须为负，且$\boldsymbol{B}$秩为$2$，正负各一，故$a<0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算矩阵A的特征值
矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{bmatrix}$，特征多项式为 $\det(\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{A}) = \begin{vmatrix}\lambda-1 & -1 & 2 \\ -1 & \lambda+2 & -1 \\ 2 & -1 & \lambda-1\end{vmatrix}$。计算得 $\lambda^3 - 9\lambda = \lambda(\lambda^2-9)$，特征值为 $\lambda_1=3,\lambda_2=-3,\lambda_3=0$。
公式：$$\det(\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{A}) = \begin{vmatrix}\lambda-1 & -1 & 2 \\ -1 & \lambda+2 & -1 \\ 2 & -1 & \lambda-1\end{vmatrix} = \lambda^3 - 9\lambda = \lambda(\lambda^2-9)$$
提示：注意行列式计算符号和展开的准确性
步骤 2/6
目标：确定矩阵A的正负惯性指数
特征值 $3>0$ 对应正惯性指数为1，$-3<0$ 对应负惯性指数为1，$0$ 对应零。故 $\boldsymbol{A}$ 的正惯性指数为1，负惯性指数为1，秩为2。
公式：$$\lambda_1=3>0, \lambda_2=-3<0, \lambda_3=0$$
提示：注意零特征值不计入正负惯性指数
步骤 3/6
目标：写出二次型矩阵B
二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=3 x_{1}^{2}+a x_{3}^{2}$ 的矩阵为 $\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}$。
公式：$$\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} b_{ij} x_i x_j$$
提示：二次型矩阵必须是对称矩阵
步骤 4/6
目标：分析矩阵B的正负惯性指数与a的关系
矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值为 $3,0,a$。正惯性指数为 $3>0$ 和 $a>0$ 的个数，负惯性指数为 $a<0$ 的个数。分情况讨论：
- 若 $a>0$，则正惯性指数为2，负惯性指数为0，秩为2；
- 若 $a=0$，则正惯性指数为1，负惯性指数为0，秩为1；
- 若 $a<0$，则正惯性指数为1，负惯性指数为1，秩为2。
提示：注意特征值0不计入正负惯性指数
步骤 5/6
目标：利用合同条件确定a的取值
由于 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同，它们的正负惯性指数相同。$\boldsymbol{A}$ 的正惯性指数为1，负惯性指数为1，秩为2。因此 $\boldsymbol{B}$ 也必须满足正惯性指数为1，负惯性指数为1，秩为2。由步骤4分析，仅当 $a<0$ 时满足条件。
提示：注意合同矩阵正负惯性指数相同
步骤 6/6
目标：得出答案
因此 $a$ 的取值为 $a<0$。
提示：注意不等式方向与矩阵正定性条件
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