📋 详细解题步骤
目标：确定秩的条件
齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解空间维数为 $2$，则 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A}) = 3 - 2 = 1$。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) = n - \dim(\text{解空间})$$
提示：注意n是未知数个数，不是方程个数
目标：对矩阵进行初等行变换
对 $\boldsymbol{A}$ 进行初等行变换：
$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & -1 \\ 3 & a+5 & -1 & -3 \\ 5 & 10 & a & -5\end{bmatrix} \xrightarrow{R_2-3R_1, R_3-5R_1} \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & a-1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & a-5 & 0\end{bmatrix}$$
提示：注意行变换时系数运算要准确
目标：分析秩为1的条件
若 $r(\boldsymbol{A})=1$，则变换后的矩阵第二行和第三行必须全为零，即 $a-1=0$ 且 $a-5=0$，这不可能同时成立。因此，秩为1的条件无法直接满足，需要重新考虑。
提示：注意秩为1时行向量成比例
目标：重新审视秩的条件
实际上，秩为1意味着所有行向量成比例。观察原矩阵，第一行非零，第二行和第三行必须与第一行成比例。设第二行是 $k_2$ 倍第一行，第三行是 $k_3$ 倍第一行，比较对应元素可得：
- 由第二行第一列：$3 = k_2 \cdot 1 \Rightarrow k_2=3$；
- 由第二行第二列：$a+5 = k_2 \cdot 2 = 6 \Rightarrow a=1$；
- 由第二行第三列：$-1 = k_2 \cdot 1 = 3$，矛盾。
故第二行不能与第一行成比例，因此秩不可能为1。
提示：注意行向量成比例时所有对应元素必须一致
目标：修正秩的条件
解空间维数为2，则 $r(\boldsymbol{A}) = 3-2 = 1$ 是理论结果，但实际矩阵无法达到秩1。检查题目：解空间维数2，未知数个数为4，则 $r(\boldsymbol{A}) = 4-2 = 2$。因此正确条件是 $r(\boldsymbol{A})=2$。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) = n - \text{解空间维数}$$
提示：注意未知数个数n与解空间维数的关系
目标：利用秩为2求参数
由行变换后的矩阵：
$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & a-1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & a-5 & 0\end{bmatrix}$$
秩为2，则第二行和第三行不能同时为零，且两行成比例。即存在非零常数 $\lambda$ 使得 $(a-1, -4, 0) = \lambda (0, a-5, 0)$。比较第一分量得 $a-1 = \lambda \cdot 0 = 0$，故 $a=1$；此时第二行变为 $(0, -4, 0)$，第三行为 $(0, 0, a-5) = (0, 0, -4)$，两行不成比例，秩为3。因此 $a=1$ 不满足。
另一种情况：第三行为零行，即 $a-5=0$，得 $a=5$；此时矩阵为 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$，秩为2，解空间维数为 $4-2=2$，符合条件。
提示：注意行成比例与零行的区别
目标：得出答案
因此，满足条件的 $a=5$。但题目答案给出 $a=4$，经检验 $a=4$ 时矩阵秩为3，解空间维数为1，与条件矛盾。故正确解答应为 $a=5$。
提示：注意验证解空间维数条件