kaoyan1advanced 线性代数 第205题

教材习题

📝 题目

### 第205题

已知三维空间的两组基

$$ $\begin{aligned}$ & \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \\ & \boldsymbol{\beta}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(1,2,0)^{\mathrm{T}}, \end{aligned} $$

在这两组基下坐标相同的向量 $\boldsymbol{\gamma}=$ $\_\_\_\_$ ．

## 选择题

💡 答案解析

**答案**：$(1,2,3)^{\mathrm{T}}$ **解析**：步骤1：设$\boldsymbol{\gamma}$在两组基下坐标相同为$(x_1,x_2,x_3)^{\mathrm{T}}$，则$\boldsymbol{\gamma}=x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+x_3\boldsymbol{\alpha}_3=x_1\boldsymbol{\beta}_1+x_2\boldsymbol{\beta}_2+x_3\boldsymbol{\beta}_3$。步骤2：代入得$x_1(1,1,1)+x_2(0,1,1)+x_3(1,0,1)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1,-1)+x_3(1,2,0)$，即$(x_1+x_3,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3)=(x_1+x_3,x_2+2x_3,x_1-x_2)$。步骤3：对应相等得$\begin{cases}x_1+x_3=x_1+x_3\\x_1+x_2=x_2+2x_3\\x_1+x_2+x_3=x_1-x_2\end{cases}$，解得$x_1=1,x_2=2,x_3=1$，故$\boldsymbol{\gamma}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：设坐标并建立向量等式
设向量 \(\boldsymbol{\gamma}\) 在两组基下的坐标相同，均为 \((x_1, x_2, x_3)^{\mathrm{T}}\)，则根据坐标定义有： \[ \boldsymbol{\gamma} = x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + x_3\boldsymbol{\alpha}_3 = x_1\boldsymbol{\beta}_1 + x_2\boldsymbol{\beta}_2 + x_3\boldsymbol{\beta}_3. \]
公式：$$\boldsymbol{\gamma} = x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + x_3\boldsymbol{\alpha}_3 = x_1\boldsymbol{\beta}_1 + x_2\boldsymbol{\beta}_2 + x_3\boldsymbol{\beta}_3$$
提示：注意两组基的向量顺序对应
步骤 2/5
目标：代入基向量坐标并化简
代入基向量的具体坐标： \[ x_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} = x_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}. \] 计算得： \[ \begin{pmatrix}x_1 + x_3 \\ x_1 + x_2 \\ x_1 + x_2 + x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1 + x_3 \\ x_2 + 2x_3 \\ x_1 - x_2\end{pmatrix}. \]
提示：注意向量加法时对应分量对齐
步骤 3/5
目标：建立方程组并求解
由向量相等得方程组： \[ \begin{cases} x_1 + x_3 = x_1 + x_3, \\ x_1 + x_2 = x_2 + 2x_3, \\ x_1 + x_2 + x_3 = x_1 - x_2. \end{cases} \] 第一个方程恒成立；由第二个方程得 \(x_1 = 2x_3\)；由第三个方程得 \(x_2 + x_3 = -x_2\)，即 \(2x_2 + x_3 = 0\)，故 \(x_2 = -\frac{1}{2}x_3\).
提示：注意第三个方程移项时符号
步骤 4/5
目标：取特解并验证
取 \(x_3 = 2\)（非零整数解），则 \(x_1 = 4\)，\(x_2 = -1\)，得坐标 \((4, -1, 2)^{\mathrm{T}}\)。但题目答案给出 \((1,2,3)^{\mathrm{T}}\)，说明需验证是否满足方程组。代入 \((1,2,3)\) 到第二个方程：左边 \(1+2=3\)，右边 \(2+2\times3=8\)，不相等，故原答案有误。正确解为： \[ x_1 = 2t,\quad x_2 = -\frac{t}{2},\quad x_3 = t,\quad t \in \mathbb{R}. \] 取 \(t=2\) 得 \((4, -1, 2)^{\mathrm{T}}\).
提示：验证解是否满足所有方程
步骤 5/5
目标：计算向量γ
因此向量 \(\boldsymbol{\gamma}\) 为： \[ \boldsymbol{\gamma} = 4\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3 = 4(1,1,1) - (0,1,1) + 2(1,0,1) = (4+2,\ 4-1,\ 4-1+2) = (6,3,5)^{\mathrm{T}}. \]
公式：$$\boldsymbol{\gamma} = 4\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3$$
提示：注意向量分量对应相加，避免符号错误

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