kaoyan1advanced 线性代数 第206题
📝 题目
### 第206题
D=$\left|\begin{array}{cccc}a^{2} & (a+1)^{2} & (a+2)^{2} & (a+3)^{2} \\ b^{2} & (b+1)^{2} & (b+2)^{2} & (b+3)^{2} \\ c^{2} & (c+1)^{2} & (c+2)^{2} & (c+3)^{2} \\ d^{2} & (d+1)^{2} & (d+2)^{2} & (d+3)^{2}\end{array}\right|=$$ （A） 0 ． （B） 1 ． （C）$a b c d$ ． （D）$a^{2} b^{2} c^{2} d^{2}$ ．$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：将行列式每列展开，第$j$列$(a+j-1)^2=a^2+2a(j-1)+(j-1)^2$，故行列式可表示为范德蒙德行列式的线性组合，但更简单：将第1列乘以$-1$加到其余列，得第2列减第1列后元素为$(a+1)^2-a^2=2a+1$，类似，最终行列式每列线性相关，值为$0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：展开各列元素
将行列式第$j$列（$j=1,2,3,4$）的元素展开：$(a+j-1)^2 = a^2 + 2a(j-1) + (j-1)^2$，类似地对于$b,c,d$。因此行列式可写为：
$$D = \begin{vmatrix} a^2 & a^2+2a+1 & a^2+4a+4 & a^2+6a+9 \\ b^2 & b^2+2b+1 & b^2+4b+4 & b^2+6b+9 \\ c^2 & c^2+2c+1 & c^2+4c+4 & c^2+6c+9 \\ d^2 & d^2+2d+1 & d^2+4d+4 & d^2+6d+9 \end{vmatrix}$$
公式：$$(a+j-1)^2 = a^2 + 2a(j-1) + (j-1)^2$$
提示：注意展开时各项符号和系数
步骤 2/5
目标：步骤2：列变换简化
将第1列乘以$-1$加到第2、3、4列，得到：
$$D = \begin{vmatrix} a^2 & 2a+1 & 4a+4 & 6a+9 \\ b^2 & 2b+1 & 4b+4 & 6b+9 \\ c^2 & 2c+1 & 4c+4 & 6c+9 \\ d^2 & 2d+1 & 4d+4 & 6d+9 \end{vmatrix}$$
提示：列变换时注意符号和倍数关系
步骤 3/5
目标：步骤3：进一步列变换
将第2列乘以$-2$加到第3列，将第2列乘以$-3$加到第4列，得到：
$$D = \begin{vmatrix} a^2 & 2a+1 & 2 & 6 \\ b^2 & 2b+1 & 2 & 6 \\ c^2 & 2c+1 & 2 & 6 \\ d^2 & 2d+1 & 2 & 6 \end{vmatrix}$$
提示：注意列变换时系数符号
步骤 4/5
目标：步骤4：观察线性相关性
此时第3列和第4列成比例（第4列是第3列的3倍），因此行列式的两列线性相关，根据行列式性质，行列式值为0。
提示：注意列成比例时行列式值为0
步骤 5/5
目标：步骤5：得出答案
因此，$D=0$，对应选项A。
提示：注意行列式值为0的判定条件
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