kaoyan1advanced 线性代数 第211题
📝 题目
### 第211题
三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，把矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行与第 3 行互换得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，把矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列的 -3 倍加到第 2 列得到单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{*}=$ （A）$\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由题意，$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}_{23}\boldsymbol{A}$，其中$\boldsymbol{E}_{23}$为交换2、3行的初等矩阵。 步骤2：$\boldsymbol{B}$经列变换得$\boldsymbol{E}$，即$\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{E}$，其中$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}1 & -3 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$。 步骤3：故$\boldsymbol{E}_{23}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{E}$，得$\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{E}_{23})^{-1}\boldsymbol{C}^{-1}=\boldsymbol{E}_{23}\boldsymbol{C}^{-1}$，其中$\boldsymbol{C}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 3 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$。 步骤4：计算$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 3 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1}$，$|\boldsymbol{A}|=-1$，$\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & -3\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}$，故$\boldsymbol{A}^{*}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 3\\0 & 0 & -1\\0 & -1 & 0\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆