📝 题目
### 第212题
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵且 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，若 $\boldsymbol{Q}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right.$ ， $\left.2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=$ （A）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ．
建欲答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由$\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\mathrm{diag}(1,2,3)$，知$\boldsymbol{A}$在基$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$下为对角矩阵。 步骤2：$\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{C}$，其中$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$。 步骤3：$\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{diag}(1,2,3)\boldsymbol{C}$。 步骤4：计算得$\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{diag}(1,2,3)\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}3 & -2 & 0\\-2 & 2 & 0\\0 & 0 & 12\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：步骤1：分析已知条件
由题设，$\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，其中 $\boldsymbol{P} = [\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3]$。这表明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的二次型矩阵为对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,2,3)$。
公式：$$\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$
提示：注意P是列向量组成的矩阵
目标：步骤2：表示矩阵Q与P的关系
已知 $\boldsymbol{Q} = [\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2, -\boldsymbol{\alpha}_2, 2\boldsymbol{\alpha}_3]$。将 $\boldsymbol{Q}$ 的列向量用 $\boldsymbol{P}$ 的列向量线性表示，可得 $\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{C}$，其中过渡矩阵 $\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$。
公式：$$\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{C}$$
提示：注意列向量顺序对应
目标：步骤3：计算Q^T A Q
利用矩阵乘法性质，$\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{P} \boldsymbol{C})^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} (\boldsymbol{P} \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} (\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}) \boldsymbol{C}$。代入已知条件，得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \boldsymbol{C}$。
公式：$$\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} (\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}) \boldsymbol{C}$$
提示：注意转置顺序和矩阵乘法结合律
目标：步骤4：进行矩阵乘法运算
先计算 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$。然后计算 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \operatorname{diag}(1,2,3) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$。再右乘 $\boldsymbol{C}$，得 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$。
公式：$$\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \operatorname{diag}(1,2,3) \boldsymbol{C}$$
提示：注意矩阵乘法的顺序和符号
目标：步骤5：得出最终结果
因此，$\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$，对应选项（D）。
公式：$$\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$$
提示：注意矩阵乘法顺序和转置