kaoyan1advanced 线性代数 第213题
📝 题目
### 第213题
（2016，数农）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $4 \times 5$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $r(\boldsymbol{A})=$ （A） 4 ． （B） 3 ． （C） 2 ． （D） 1 ．
建被答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{A}$为$4\times5$矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$为$5\times4$矩阵。 步骤2：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$是$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的基础解系，故$n-r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=3$，即$4-r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=3$，得$r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=1$。 步骤3：$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定矩阵转置的维数
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $4 \times 5$ 矩阵，则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 为 $5 \times 4$ 矩阵。
提示：注意矩阵转置的行列互换
步骤 2/4
目标：利用基础解系求秩
$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$ 的基础解系，说明解空间维数为 $3$。对于 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} = \mathbf{0}$，未知数个数为 $4$，因此 $4 - r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = 3$，解得 $r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = 1$。
公式：$$4 - r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = 3$$
提示：注意转置矩阵秩与原矩阵相同
步骤 3/4
目标：利用矩阵与其转置秩相等
矩阵的秩等于其转置的秩，即 $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = 1$。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})$$
提示：注意矩阵与其转置秩相等
步骤 4/4
目标：得出答案
因此 $r(\boldsymbol{A}) = 1$，对应选项 (D)。
提示：注意秩为1时行向量成比例
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