kaoyan1advanced 线性代数 第214题

教材习题

📝 题目

### 第214题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & 3 & a+2\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 是三阶非零矩阵且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 （A）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的必要条件． （B）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件． （C）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分条件． （D）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件．

💡 答案解析

**答案**：A **解析**： 步骤1：由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$且$\boldsymbol{B}\neq\boldsymbol{O}$，得$r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})\leq3$，且$r(\boldsymbol{A})<3$。 步骤2：计算$|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}2 & 4 & 2\\1 & a & -2\\2 & 3 & a+2\end{vmatrix}=2(a-1)(a-3)$。 步骤3：若$r(\boldsymbol{B})=1$，则$r(\boldsymbol{A})\leq2$，故$|\boldsymbol{A}|=0$，得$a=1$或$a=3$，但$a=1$时$r(\boldsymbol{A})=2$，$a=3$时$r(\boldsymbol{A})=2$，均可满足$r(\boldsymbol{B})=1$，故$a=1$是$r(\boldsymbol{B})=1$的必要非充分条件。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：由AB=O且B非零推出秩的关系
由 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B}\neq\boldsymbol{O}$，得 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})\leq 3$，且 $r(\boldsymbol{A})<3$。
公式：$$r(A)+r(B)\leq 3$$
提示：注意B非零，故r(B)≥1
步骤 2/5
目标：计算矩阵A的行列式
计算 $|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}2 & 4 & 2\\1 & a & -2\\2 & 3 & a+2\end{vmatrix}=2(a-1)(a-3)$。
公式：$$|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & 3 & a+2 \end{vmatrix} = 2(a-1)(a-3)$$
提示：注意行列式展开时符号和因式分解
步骤 3/5
目标：分析r(B)=1时a的取值条件
若 $r(\boldsymbol{B})=1$，则 $r(\boldsymbol{A})\leq 2$，故 $|\boldsymbol{A}|=0$，得 $a=1$ 或 $a=3$。
公式：$$|\boldsymbol{A}|=0$$
提示：注意r(B)=1时r(A)≤2，但需验证a值是否使r(B)=1
步骤 4/5
目标：验证a=1和a=3时r(A)的情况
当 $a=1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=2$；当 $a=3$ 时，$r(\boldsymbol{A})=2$。两种情况下均可满足 $r(\boldsymbol{B})=1$，因此 $a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的必要条件，但不是充分条件。
提示：注意区分必要与充分条件
步骤 5/5
目标：判断选项
由以上分析，选项（A）正确，即 $a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的必要条件。
提示：注意必要条件与充分条件的区别

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第213题 返回列表 第215题 →