kaoyan1advanced 线性代数 第215题
📝 题目
### 第215题
(2003,3)$ 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right]$ ，若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$ ，则必有 （A）$a=b$ 或 $a+2 b=0$ ． （B）$a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$ ． （C）$a \neq b$ 且 $a+2 b=0$ ． （D）$a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$ ． 旗胜考研$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$r(\boldsymbol{A}^{*})=1$，则$r(\boldsymbol{A})=2$（三阶矩阵）。 步骤2：计算$|\boldsymbol{A}|=(a+2b)(a-b)^2$，由$r(\boldsymbol{A})=2$得$|\boldsymbol{A}|=0$且$\boldsymbol{A}$非零，故$a+2b=0$或$a=b$。 步骤3：若$a=b$，则$\boldsymbol{A}=a\boldsymbol{J}$（$\boldsymbol{J}$为全1矩阵），此时$r(\boldsymbol{A})=1$，矛盾。故$a\neq b$且$a+2b=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由伴随矩阵的秩推断原矩阵的秩
对于三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，若 $r(\boldsymbol{A}^*)=1$，则 $r(\boldsymbol{A})=2$。因为 $r(\boldsymbol{A}^*)$ 与 $r(\boldsymbol{A})$ 的关系为：当 $r(\boldsymbol{A})=n$ 时，$r(\boldsymbol{A}^*)=n$；当 $r(\boldsymbol{A})=n-1$ 时，$r(\boldsymbol{A}^*)=1$；当 $r(\boldsymbol{A})
公式：$$r(\boldsymbol{A}^*)=\begin{cases} n, & r(\boldsymbol{A})=n \\ 1, & r(\boldsymbol{A})=n-1 \\ 0, & r(\boldsymbol{A})
提示：注意n=3时r(A*)=1对应r(A)=2
步骤 2/5
目标：计算矩阵的行列式
计算 $|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix}$。将第2、3行加到第1行，得 $\begin{vmatrix} a+2b & a+2b & a+2b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix} = (a+2b)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix}$。再将第1行乘以 $-b$ 加到第2、3行，得 $(a+2b)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-b & 0 \\ 0 & 0 & a-b \end{vmatrix} = (a+2b)(a-b)^2$。
公式：$$|\boldsymbol{A}| = (a+2b)(a-b)^2$$
提示：注意行变换后提取公因子时符号变化
步骤 3/5
目标：由秩为2得到行列式为零且矩阵非零
由于 $r(\boldsymbol{A})=2$，则 $|\boldsymbol{A}|=0$，即 $(a+2b)(a-b)^2=0$，故 $a+2b=0$ 或 $a=b$。同时，$\boldsymbol{A}$ 非零，否则秩为0，但此处秩为2，故 $\boldsymbol{A}$ 非零，该条件自动满足。
公式：$$|\boldsymbol{A}|=0 \Rightarrow (a+2b)(a-b)^2=0$$
提示：注意秩为2时行列式必为零，但需排除零矩阵
步骤 4/5
目标：排除 $a=b$ 的情况
若 $a=b$，则 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a & a & a \\ a & a & a \\ a & a & a \end{bmatrix} = a\boldsymbol{J}$，其中 $\boldsymbol{J}$ 为全1矩阵。此时 $r(\boldsymbol{A})=1$（当 $a\neq0$）或 $0$（当 $a=0$），与 $r(\boldsymbol{A})=2$ 矛盾。故 $a=b$ 不成立。
提示：注意全1矩阵的秩为1
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，必有 $a \neq b$ 且 $a+2b=0$。对应选项为 (C)。
提示：注意条件a≠b和a+2b=0同时成立
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