kaoyan1advanced 线性代数 第216题
📝 题目
### 第216题
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1-a & a & 0 & -a \\ -3 & 6 & 3 & -3 \\ 2-a & a-2 & -1 & 1-a\end{array}\right]$ ，其中 $a$ 为任意常数，则 $(\mathrm{A}) r(\boldsymbol{A})=1$ ． （B）$r(\boldsymbol{A})=2$ ． $(\mathrm{C}) r(\boldsymbol{A})=3$ ． （D）$r(\boldsymbol{A})$ 与 $a$ 有关．
建设荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：对$\boldsymbol{A}$作初等行变换： $\begin{bmatrix}1-a & a & 0 & -a\\-3 & 6 & 3 & -3\\2-a & a-2 & -1 & 1-a\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1-a & a & 0 & -a\\-3 & 6 & 3 & -3\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$（第三行加第一行减第二行）。 步骤2：前两行线性无关（无论$a$取何值），故$r(\boldsymbol{A})=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：初等行变换化简矩阵
对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行初等行变换：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
1-a & a & 0 & -a \\
-3 & 6 & 3 & -3 \\
2-a & a-2 & -1 & 1-a
\end{bmatrix}
\xrightarrow{r_3 + r_1 - r_2}
\begin{bmatrix}
1-a & a & 0 & -a \\
-3 & 6 & 3 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
其中第三行变为零行。
提示：注意行变换的符号和顺序
步骤 2/4
目标：分析前两行的线性相关性
考虑前两行向量：
$$
\boldsymbol{\alpha}_1 = (1-a, a, 0, -a), \quad \boldsymbol{\alpha}_2 = (-3, 6, 3, -3)
$$
对于任意常数 $a$，$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 不成比例（例如，当 $a=0$ 时，$\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,0,0)$，$\boldsymbol{\alpha}_2=(-3,6,3,-3)$ 显然线性无关），因此它们线性无关。
提示：注意不成比例不一定线性无关，需验证所有分量比例一致
步骤 3/4
目标：确定矩阵的秩
由于初等行变换不改变矩阵的秩，且变换后矩阵的非零行数为2，且前两行线性无关，故矩阵的秩为2：
$$
r(\boldsymbol{A}) = 2
$$
提示：初等行变换不改变秩
步骤 4/4
目标：得出结论
无论 $a$ 取何值，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩恒为2，因此正确选项为 (B)。
提示：注意矩阵秩与参数无关的特殊情形
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