kaoyan1advanced 线性代数 第218题
📝 题目
### 第218题
（2010，数农）设向量组 I： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II： $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表示，下列命题中正确的是 （A）若向量组 I 线性无关，则 $r \leqslant s$ ． （B）若向量组 I 线性相关，则 $r>s$ ． （C）若向量组 II 线性无关，则 $r \leqslant s$ ． （D）若向量组 II 线性相关，则 $r>s$ ．
建衩谷题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：若向量组I可由II线性表示且I线性无关，则I的秩$r$不超过II的秩$s$，即$r\leq s$。 步骤2：其他选项反例：B中$r>s$不一定成立；C中II线性无关不能推出$r\leq s$；D中II线性相关不能推出$r>s$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
已知向量组 I: $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II: $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表示。这意味着存在系数矩阵 $K_{r \times s}$，使得 $[\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_r] = [\boldsymbol{\beta}_1, \ldots, \boldsymbol{\beta}_s] K$。
公式：$$[\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_r] = [\boldsymbol{\beta}_1, \ldots, \boldsymbol{\beta}_s] K$$
提示：注意系数矩阵K的维度是s×r
步骤 2/7
目标：推导秩的关系
由线性表示的性质，向量组 I 的秩 $\operatorname{rank}(I) \leq \operatorname{rank}(II)$。而 $\operatorname{rank}(II) \leq s$，因为向量组 II 最多有 $s$ 个线性无关的向量。
提示：注意向量组秩与向量个数的关系
步骤 3/7
目标：分析选项A
若向量组 I 线性无关，则 $\operatorname{rank}(I) = r$。结合 $\operatorname{rank}(I) \leq \operatorname{rank}(II) \leq s$，可得 $r \leq s$。因此选项A正确。
公式：$$\operatorname{rank}(I) \leq \operatorname{rank}(II) \leq s$$
提示：注意秩的不等式方向
步骤 4/7
目标：分析选项B
若向量组 I 线性相关，则 $\operatorname{rank}(I) < r$。但 $\operatorname{rank}(I) \leq s$ 仍然成立，不能推出 $r > s$。例如，取 $r=2, s=3$，I 线性相关（如 $\alpha_1 = \alpha_2$），但 $r < s$，故B错误。
提示：线性相关时秩小于个数，但未必大于另一组个数
步骤 5/7
目标：分析选项C
若向量组 II 线性无关，则 $\operatorname{rank}(II) = s$。但 $\operatorname{rank}(I) \leq s$，无法推出 $r \leq s$，因为 $r$ 可能大于 $s$ 且 I 线性相关。例如，取 $r=3, s=2$，II 线性无关，但 I 可由 II 表示且 $r > s$，故C错误。
提示：注意秩与向量个数的关系
步骤 6/7
目标：分析选项D
若向量组 II 线性相关，则 $\operatorname{rank}(II) < s$。但 $\operatorname{rank}(I) \leq \operatorname{rank}(II) < s$，无法推出 $r > s$。例如，取 $r=1, s=2$，II 线性相关，但 $r < s$，故D错误。
提示：注意秩不等式方向，反例法验证选项
步骤 7/7
目标：得出答案
综合以上分析，只有选项A正确。因此答案为A。
提示：注意向量组线性无关的充要条件
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