kaoyan1advanced 线性代数 第219题

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📝 题目

### 第219题

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维非零向量，则下列命题中正确的是 （A）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性相关， $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必线性相关． （B）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必线性无关． （C）若 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必线性相关． （D）若 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必线性无关．

## 建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

💡 答案解析

**答案**：C **解析**： 步骤1：若$\boldsymbol{\alpha}_4$不能由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，则$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$必线性相关（否则四维向量组$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性无关，但三维空间最多三个线性无关向量，矛盾）。 步骤2：A反例：$\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,0),\boldsymbol{\alpha}_2=(2,0,0),\boldsymbol{\alpha}_3=(0,1,0),\boldsymbol{\alpha}_4=(0,2,0)$，则$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,0),\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4=(2,2,0)$线性相关，但原命题不成立。 步骤3：B反例：$\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_1$时，$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_4,\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$线性相关。 步骤4：D反例：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性相关时，$\boldsymbol{\alpha}_4$仍可由其表示。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分析选项C的正确性
若 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 必线性相关。否则，若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，则它们构成三维空间的一组基，从而 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 可由它们线性表示，矛盾。因此选项C正确。
提示：注意线性无关与基的关系
步骤 2/5
目标：分析选项A的错误性
反例：取 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,0,0), \boldsymbol{\alpha}_2 = (2,0,0), \boldsymbol{\alpha}_3 = (0,1,0), \boldsymbol{\alpha}_4 = (0,2,0)$。则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关，$\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关，但 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3 = (1,1,0), \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4 = (2,2,0)$ 线性相关，然而原命题要求“必线性相关”并不成立，因为存在其他反例使得和向量线性无关。实际上，该反例中两向量成比例，但命题A不恒成立。
提示：反例需满足线性相关但和向量相关
步骤 3/5
目标：分析选项B的错误性
反例：取 $\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_1$，则 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_4 = 2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$，这三个向量线性相关（因为 $2\boldsymbol{\alpha}_1$ 可由后两个线性表示）。
提示：反例中α4=α1导致线性相关
步骤 4/5
目标：分析选项D的错误性
反例：取 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,0,0), \boldsymbol{\alpha}_2 = (2,0,0), \boldsymbol{\alpha}_3 = (0,1,0)$，则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，但 $\boldsymbol{\alpha}_4 = (0,0,1)$ 不能由它们线性表示，因此D不成立。
提示：线性相关不一定能表示所有向量
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上分析，只有选项C正确。
提示：注意向量组线性无关的判定条件

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