kaoyan1advanced 线性代数 第220题
📝 题目
### 第220题
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,2,3,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,0,3, a)^{\mathrm{T}}$的秩等于 3 ，则 $a=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：向量组秩为3，则行列式$|\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4|=0$。 步骤2：计算行列式：$\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 2 & 0\\0 & 0 & 3 & 3\\4 & 0 & 0 & a\end{vmatrix}=1\cdot2\cdot3\cdot a+4\cdot0\cdot2\cdot0-\cdots=6a-24=0$，得$a=4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用秩的条件转化为行列式为零
向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的秩为 3，说明这 4 个向量线性相关，因此由它们构成的矩阵的行列式为零，即 $|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4| = 0$。
公式：$$|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4| = 0$$
提示：注意行列式为零是线性相关的充要条件
步骤 2/5
目标：构造行列式并展开计算
构造行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & a \end{vmatrix}$。按第一列展开：$1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} - 0 + 0 - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{vmatrix}$。
公式：$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{vmatrix}$$
提示：注意按列展开时符号交替，不要漏项
步骤 3/5
目标：计算两个三阶行列式
第一个三阶行列式 $\begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 0 & a \end{vmatrix} - 0 + 0 = 2 \cdot (3a - 0) = 6a$。第二个三阶行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \cdot (2 \cdot 3 - 0) = 6$。
公式：$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$
提示：按第一行展开时注意符号和零项
步骤 4/5
目标：代入并求解参数 a
代入展开式得：$1 \cdot 6a - 4 \cdot 6 = 6a - 24 = 0$，解得 $a = 4$。
公式：$$1 \cdot 6a - 4 \cdot 6 = 6a - 24 = 0$$
提示：注意代入时系数符号
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此 $a = 4$，对应选项 (D)。
提示：注意向量组线性无关的条件
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